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Etude d'une fonction logarithmique



  1. #1
    Jeremouse1

    Etude d'une fonction logarithmique


    ------

    Bonjour,
    je suis désolé d'ouvrir beaucoup de sujet mais mon problème ici est très différent. On se propose d'étudier la fonction f(x) = -ln[ (1/x) - 1 ]. Il faut d'abord determiner le domaine de définition de f. La fonction -ln(x) est définie sur l'intervalle ]0 ; +oo[, la fonction 1/x sur l'intervalle ]-oo ; 0[ U ]0 ; +oo[ donc on peut tout de suite éliminer l'intervalle ]-oo ; 0[. Cependant on voit bien à cause du -1 dans la parenthèse que tout les x supérieur ou égale à 1 vont provoquer l'apparition d'une valeur négative, ce qui est impossible avec le logarithme. Je voulais donc vous demander comment expliquer que le domaine de définition n'est en fait que ]0 ; 1[ ?
    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    nombre complex

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    salut a vous tous
    on a -ln(1/x-1) . alors (1) il f aut que : (1/x-1) > 0
    et(2) : x =/= 0
    pour la (1) en trouve qu on a : 1/x > 1
    alors x il se trouve au champ (0,1(
    et puis que on a la (2) x =/= 0
    en trouve que : Df = )0,1(.
    et merçi.

  3. #3
    Jeremouse1

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Désolé mais je n'ai rien compris de tout ce que tu as écris, enfin presque tout, est ce que tu pourrais me rééxpliquer plus clairement ce que tu as voulu me dire.
    Merci d'avance

  4. #4
    Jeremouse1

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    En parralèle a ce petit problème j'ai un autre problème dans l'exercice. On vient de démontrer juste avant que f(x) établit une bijection et dnas la question suivante on nous demande de montrer que f(x) = x admet une unique solution alpha. Je me demandais si le fait de dire que la bijection entraine l'unicité de la solution pour n'importe quelle point de la courbe suffit pour montrer que f(x) = x admet une solution unique ou il faut faire autre chose ?
    Merci d'avance

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    labostyle

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    salut,

    f(x) = -ln[ (1/x) - 1 ]

    1/x -1 est définie sur R privé de 0
    et ln X est définie sur R+ privé de 0
    or pour tout x >1 on a 1/x -1 <0 (le log népérien de quelque chose de négative n'existe pas) et si x=1 alors 1/x -1=0 (comme tu le sais ln (0) = impossible)
    Donc f(x) est définie sur ]0;1[

  7. #6
    Jeremouse1

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Ok merci beaucoup de ta réponse, j'y pensais mais je ne savais pas l'exprimer donc merci beaucoup. Maintenant que il ne me reste que ce problème avec f(x)=x où j'ai un problème.
    Merci d'avance

  8. #7
    ericcc

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Comme c'est une bijection la solution, si elle existe, sera unique. Il ne te reste plus qu'à montrer qu'elle existe.

  9. #8
    labostyle

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Tu dois faire un tableau de variation de la fonction et dire que la fonction par exemple est croissante sur tel intervalle puis décroissante sur un autre intervalle, et moyennant quelque explication (dont je ne me souviens plus) tu en conclu que tu as une solution unique alpha ...

  10. #9
    ericcc

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    En l'occurence elle est monotone strictement.
    Théorème connu : une fonction continue et strictement monotone d'un intervalle I vers un intervalle J est une bijection

  11. #10
    labostyle

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    En l'occurence elle est monotone strictement.
    Théorème connu : une fonction continue et strictement monotone d'un intervalle I vers un intervalle J est une bijection
    théorème connu en terminal oui apres c'est a la corbeille mais c'est bien ce theoreme qu'il faut utiliser

  12. #11
    Jeremouse1

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Ok mais alors en ayant montré déjà à la question précédente que f(x) est strictement croissante et qu'elle établit une bijection j'ai déjà montré donc que f(x)=x est une solution unique ? où j'ai besoin encore de faire un tableau de variation pour le montrer ?
    Merci d'avance

  13. #12
    ericcc

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Pourquoi le mettre à la poubelle après ? Je l'aime bien...il est intuitif, pas dur à démontrer rigoureusement. C'est comme le principe des tiroirs ça sert toujours.

  14. #13
    ericcc

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Citation Envoyé par Jeremouse1 Voir le message
    Ok mais alors en ayant montré déjà à la question précédente que f(x) est strictement croissante et qu'elle établit une bijection j'ai déjà montré donc que f(x)=x est une solution unique ? où j'ai besoin encore de faire un tableau de variation pour le montrer ?
    Merci d'avance
    Il faut que tu montre qu'il y a au moins une solution : la fonction f : x-> x+1 est strictement croissante et bijective, mais f(x)=x n'a pas de solutions

  15. #14
    Romain-des-Bois

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Citation Envoyé par labostyle Voir le message
    théorème connu en terminal oui apres c'est a la corbeille mais c'est bien ce theoreme qu'il faut utiliser
    Théorème assez intuitif qu'on ne risque pas d'oublier

    ---

    EDIT : ...

  16. #15
    labostyle

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Citation Envoyé par Jeremouse1 Voir le message
    où j'ai besoin encore de faire un tableau de variation pour le montrer ?
    non dans ce cas tu n'as pas besoin de faire un tableau de variation

  17. #16
    labostyle

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    C'est comme le principe des tiroirs ça sert toujours.
    plutôt marant, tu peux l'énoncé

  18. #17
    ericcc

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Si tu as n tiroirs et p chaussettes, avec p>n, alors il y a au moins un tiroir qui contient plus d'une chaussette.
    voir ici des conséquences amusantes comme l'hotel de Hilbert par exemple
    http://en.wikipedia.org/wiki/Pigeonhole_principle

  19. #18
    Jeremouse1

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Oulah attendez je comprends plus grand chose, pourquoi vous parlez de f(x) = x+1 ? et sinon la solution alpha se trouve elle au croisement de la courbe f(x)=x et ma fonction f de départ ?
    Merci d'avance

  20. #19
    ericcc

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Citation Envoyé par Jeremouse1 Voir le message
    Oulah attendez je comprends plus grand chose, pourquoi vous parlez de f(x) = x+1 ? et sinon la solution alpha se trouve elle au croisement de la courbe f(x)=x et ma fonction f de départ ?
    Merci d'avance
    Pardon, j'ai été trop vite. Je t'ai donné un exemple de fonction f qui est monotone et continue, donc bijective, et qui ne "croise" jamais la courbe de la fonction g(x)=x. Tout ça pour te montrer que tu dois montrer que ta fonction f et la courbe g(x)=x se croisent.
    En général pour cela on étudie la fonction h(x)=f(x)-x...

  21. #20
    Jeremouse1

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Ok merci, j'ai compris. Sinon quelque questions plus tard on nous demandede montrer que dans l'intervalle ]0 ; 1[ f'(x) >= 4. J'ai calculé f'(x) = -1 / x(x-1). Maintenant est ce que je dois calculer pour quelle valeur de x f'(x) > 4 et voir si il est dans le domaine de définition ou bien est ce qu'il y a une autre méthode pour montrer cela ?
    Merci d'avance

  22. #21
    ericcc

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    SI j'ai bien compris on te demande de trouver un x tel que f'(x)>=4, il suffit de le trouver (dans le domaine de définition)

  23. #22
    Jeremouse1

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Ok c'est ce que je pensais donc j'ai posé mon inéquation et j'arrive à x² - x > 4 mais je ne vois pas comment continuer, est ce que vou pourriez m'aider ?
    Merci d'avance

  24. #23
    Jeremouse1

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Ok non c'est bon normalement j'ai réussi à m'en sortir, je trouve donc x > rc(3/4) environ égale à 0.866 donc compris entre 0 et 1, est ce que cela te semble bon comme réponse ?
    Merci d'avance

  25. #24
    Jeremouse1

    Re : Etude d'une fonction logarithmique

    Bonjour,
    en fait j'ai essayé plein de méthodes mais je ne comprends pas comment on montre que f(x)=x malgré que j'avais dis que j'avais compris. J'ai étudié la fonction h(x) = f(x) - x, j'ai fais la dérivé et un tableau de variation mais je ne vois pas comment montrer après que les deux courbes se croisent ? car on doit bien montrer que f(x) - x = 0 ?
    Merci d'avance

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