Etude d'une fonction logarithmique

[invitede6f3928]

Bonjour,
je suis désolé d'ouvrir beaucoup de sujet mais mon problème ici est très différent. On se propose d'étudier la fonction f(x) = -ln[ (1/x) - 1 ]. Il faut d'abord determiner le domaine de définition de f. La fonction -ln(x) est définie sur l'intervalle ]0 ; +oo[, la fonction 1/x sur l'intervalle ]-oo ; 0[ U ]0 ; +oo[ donc on peut tout de suite éliminer l'intervalle ]-oo ; 0[. Cependant on voit bien à cause du -1 dans la parenthèse que tout les x supérieur ou égale à 1 vont provoquer l'apparition d'une valeur négative, ce qui est impossible avec le logarithme. Je voulais donc vous demander comment expliquer que le domaine de définition n'est en fait que ]0 ; 1[ ?
Merci d'avance
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[invited96de8f5]

salut a vous tous
on a -ln(1/x-1) . alors (1) il f aut que : (1/x-1) > 0
et(2) : x =/= 0
pour la (1) en trouve qu on a : 1/x > 1
alors x il se trouve au champ (0,1(
et puis que on a la (2) x =/= 0
en trouve que : Df = )0,1(.
et merçi.

[invitede6f3928]

Désolé mais je n'ai rien compris de tout ce que tu as écris, enfin presque tout, est ce que tu pourrais me rééxpliquer plus clairement ce que tu as voulu me dire.
Merci d'avance

[invitede6f3928]

En parralèle a ce petit problème j'ai un autre problème dans l'exercice. On vient de démontrer juste avant que f(x) établit une bijection et dnas la question suivante on nous demande de montrer que f(x) = x admet une unique solution alpha. Je me demandais si le fait de dire que la bijection entraine l'unicité de la solution pour n'importe quelle point de la courbe suffit pour montrer que f(x) = x admet une solution unique ou il faut faire autre chose ?
Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[labostyle]

salut,

f(x) = -ln[ (1/x) - 1 ]

1/x -1 est définie sur R privé de 0
et ln X est définie sur R+ privé de 0
or pour tout x >1 on a 1/x -1 <0 (le log népérien de quelque chose de négative n'existe pas) et si x=1 alors 1/x -1=0 (comme tu le sais ln (0) = impossible)
Donc f(x) est définie sur ]0;1[

[invitede6f3928]

Ok merci beaucoup de ta réponse, j'y pensais mais je ne savais pas l'exprimer donc merci beaucoup. Maintenant que il ne me reste que ce problème avec f(x)=x où j'ai un problème.
Merci d'avance

[inviteaf1870ed]

Comme c'est une bijection la solution, si elle existe, sera unique. Il ne te reste plus qu'à montrer qu'elle existe.

[labostyle]

Tu dois faire un tableau de variation de la fonction et dire que la fonction par exemple est croissante sur tel intervalle puis décroissante sur un autre intervalle, et moyennant quelque explication (dont je ne me souviens plus) tu en conclu que tu as une solution unique alpha ...

[inviteaf1870ed]

En l'occurence elle est monotone strictement.
Théorème connu : une fonction continue et strictement monotone d'un intervalle I vers un intervalle J est une bijection

[labostyle]

En l'occurence elle est monotone strictement.
Théorème connu : une fonction continue et strictement monotone d'un intervalle I vers un intervalle J est une bijection

théorème connu en terminal oui apres c'est a la corbeille mais c'est bien ce theoreme qu'il faut utiliser

[invitede6f3928]

Ok mais alors en ayant montré déjà à la question précédente que f(x) est strictement croissante et qu'elle établit une bijection j'ai déjà montré donc que f(x)=x est une solution unique ? où j'ai besoin encore de faire un tableau de variation pour le montrer ?
Merci d'avance

[inviteaf1870ed]

Pourquoi le mettre à la poubelle après ? Je l'aime bien...il est intuitif, pas dur à démontrer rigoureusement. C'est comme le principe des tiroirs ça sert toujours.

[inviteaf1870ed]

Ok mais alors en ayant montré déjà à la question précédente que f(x) est strictement croissante et qu'elle établit une bijection j'ai déjà montré donc que f(x)=x est une solution unique ? où j'ai besoin encore de faire un tableau de variation pour le montrer ?
Merci d'avance

Il faut que tu montre qu'il y a au moins une solution : la fonction f : x-> x+1 est strictement croissante et bijective, mais f(x)=x n'a pas de solutions

[inviteaeeb6d8b]

théorème connu en terminal oui apres c'est a la corbeille mais c'est bien ce theoreme qu'il faut utiliser

Théorème assez intuitif qu'on ne risque pas d'oublier

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EDIT : ...

[labostyle]

où j'ai besoin encore de faire un tableau de variation pour le montrer ?

non dans ce cas tu n'as pas besoin de faire un tableau de variation

[labostyle]

C'est comme le principe des tiroirs ça sert toujours.

plutôt marant, tu peux l'énoncé

[inviteaf1870ed]

Si tu as n tiroirs et p chaussettes, avec p>n, alors il y a au moins un tiroir qui contient plus d'une chaussette.
voir ici des conséquences amusantes comme l'hotel de Hilbert par exemple
http://en.wikipedia.org/wiki/Pigeonhole_principle

[invitede6f3928]

Oulah attendez je comprends plus grand chose, pourquoi vous parlez de f(x) = x+1 ? et sinon la solution alpha se trouve elle au croisement de la courbe f(x)=x et ma fonction f de départ ?
Merci d'avance

[inviteaf1870ed]

Oulah attendez je comprends plus grand chose, pourquoi vous parlez de f(x) = x+1 ? et sinon la solution alpha se trouve elle au croisement de la courbe f(x)=x et ma fonction f de départ ?
Merci d'avance

Pardon, j'ai été trop vite. Je t'ai donné un exemple de fonction f qui est monotone et continue, donc bijective, et qui ne "croise" jamais la courbe de la fonction g(x)=x. Tout ça pour te montrer que tu dois montrer que ta fonction f et la courbe g(x)=x se croisent.
En général pour cela on étudie la fonction h(x)=f(x)-x...

[invitede6f3928]

Ok merci, j'ai compris. Sinon quelque questions plus tard on nous demandede montrer que dans l'intervalle ]0 ; 1[ f'(x) >= 4. J'ai calculé f'(x) = -1 / x(x-1). Maintenant est ce que je dois calculer pour quelle valeur de x f'(x) > 4 et voir si il est dans le domaine de définition ou bien est ce qu'il y a une autre méthode pour montrer cela ?
Merci d'avance

[inviteaf1870ed]

SI j'ai bien compris on te demande de trouver un x tel que f'(x)>=4, il suffit de le trouver (dans le domaine de définition)

[invitede6f3928]

Ok c'est ce que je pensais donc j'ai posé mon inéquation et j'arrive à x² - x > 4 mais je ne vois pas comment continuer, est ce que vou pourriez m'aider ?
Merci d'avance

[invitede6f3928]

Ok non c'est bon normalement j'ai réussi à m'en sortir, je trouve donc x > rc(3/4) environ égale à 0.866 donc compris entre 0 et 1, est ce que cela te semble bon comme réponse ?
Merci d'avance

[invitede6f3928]

Bonjour,
en fait j'ai essayé plein de méthodes mais je ne comprends pas comment on montre que f(x)=x malgré que j'avais dis que j'avais compris. J'ai étudié la fonction h(x) = f(x) - x, j'ai fais la dérivé et un tableau de variation mais je ne vois pas comment montrer après que les deux courbes se croisent ? car on doit bien montrer que f(x) - x = 0 ?
Merci d'avance