trigo MPSI

[invite107660be]

Bonjour j'ai un DM de maths oû des questions me posent problème.

1) J'ai démontré que
2<= e <3
(1+1/n)^n <= e <= (1+1/n)^(n+1)

et on me demande la lim de n ln (1+1/n) quand n tend vers + infini
je sais que je dois trouver 1.
et j'ai montré grâce à la deuxieme inégalité que
n ln ( 1+1/n) <= 1 mais je n'arrive pas à trouver la lim!


2) J'ai montré par réccurence que

e =( sigma( avec k=0 jusqu'a n) 1/k! )+ 1/n! (intégrale(de 0 à 1 ) (1-t)^n exp(t) dt )

mais je n'arrive pas à déduire l'inégalité suivante:

0 <= e - sigma 1/k! <= 3/(1+n)!

je pense qu'il faudrait montrer que e => sigma 1/k! puis on soustrait par sigma 1/k! mais déja ja n'arrive pas à le prouver car je n'arrive pas à prouver que l'intégrale est >0 de plus pour le 3/(n+1)! je n'arrive pas à le faire apparaitre!


Merci de votre aide , j'espere avoir été compréhensible.
gabyse
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[invite35452583]

Bonjour,
partie 1 :
l'inégalité te donne plus :
n.ln(1+1/n)<=1 et 1<=(n+1)ln(1+1/n)=n.ln(1+1/n)+ln(1+1/n) il suffit de remanier cette seconde pour obtenir un encadrement de n.ln(1+1/n).

partie 2 :
a) l'intégrale est >0 car la fonction intégrée est>0 sur ]0;1] (si tu ne connais pas le résultat découpe l'intégrale en 2 : entre 0 et 1/2 puis entre 1/2 et 1, cette dernière je pense que tu es convaincu qu'elle est >0).
b) le 3 vient de ta toute 1ère inégalité (partie 1), 1/n! est déjà présent, je te laisse trouver le 1/(n+1) qui manque (il suffit de regarder la fonction intégrée pour trouver).

En espérant que cela tee décoincera car tu n'es vraiment pas loin durésultat pour chaque.

[indian58]

Tu n'as peut-être pas encore vu les DL mais pour ta limite voilà comment tu peux faire:

n ln(1+ 1/n) = n (1/n - 1/2n² + o(1/n²) ) = 1 - 1/2n + o(1/n) ce qui est équivalent à 1 quand n tend vers l'infini donc ta limite est 1.

[invite107660be]

Merci pour vos réponses!
pour la limite c'est bon j'ai trouvé par contre pour l'encadrement je bloque toujours !

je trouve beaucoup d'encadrements mais qui ne mènent pas à grand chose

0 <= intégrale (1-t)^n + e^t dt ca j'ai trouvé
mais après je ne sais pas quoi faire !

j'ai aussi :

0 <= e- sigma 1/k! <= 3 - sigma 1/k!
0<= 1/n! intégrale(...) <= 3 -sigma 1/k!

je ne sais plus oû aller !
gabyse

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Ta majoration de va être obtenue avec l'intégrale .
Dans cette intégrale par quoi peux-tu majorer e^t ?

[invite107660be]

e^t < 3^t ???

je ne comprend pas pourquoi tu prends cette intégrale !
mon intégrale étant ((1-t)^n)e^t dt