trigo MPSI
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trigo MPSI



  1. #1
    invite107660be

    trigo MPSI


    ------

    Bonjour j'ai un DM de maths oû des questions me posent problème.

    1) J'ai démontré que
    2<= e <3
    (1+1/n)^n <= e <= (1+1/n)^(n+1)

    et on me demande la lim de n ln (1+1/n) quand n tend vers + infini
    je sais que je dois trouver 1.
    et j'ai montré grâce à la deuxieme inégalité que
    n ln ( 1+1/n) <= 1 mais je n'arrive pas à trouver la lim!


    2) J'ai montré par réccurence que

    e =( sigma( avec k=0 jusqu'a n) 1/k! )+ 1/n! (intégrale(de 0 à 1 ) (1-t)^n exp(t) dt )

    mais je n'arrive pas à déduire l'inégalité suivante:

    0 <= e - sigma 1/k! <= 3/(1+n)!

    je pense qu'il faudrait montrer que e => sigma 1/k! puis on soustrait par sigma 1/k! mais déja ja n'arrive pas à le prouver car je n'arrive pas à prouver que l'intégrale est >0 de plus pour le 3/(n+1)! je n'arrive pas à le faire apparaitre!


    Merci de votre aide , j'espere avoir été compréhensible.
    gabyse

    -----

  2. #2
    invite35452583

    Re : trigo MPSI

    Bonjour,
    partie 1 :
    l'inégalité te donne plus :
    n.ln(1+1/n)<=1 et 1<=(n+1)ln(1+1/n)=n.ln(1+1/n)+ln(1+1/n) il suffit de remanier cette seconde pour obtenir un encadrement de n.ln(1+1/n).

    partie 2 :
    a) l'intégrale est >0 car la fonction intégrée est>0 sur ]0;1] (si tu ne connais pas le résultat découpe l'intégrale en 2 : entre 0 et 1/2 puis entre 1/2 et 1, cette dernière je pense que tu es convaincu qu'elle est >0).
    b) le 3 vient de ta toute 1ère inégalité (partie 1), 1/n! est déjà présent, je te laisse trouver le 1/(n+1) qui manque (il suffit de regarder la fonction intégrée pour trouver).

    En espérant que cela tee décoincera car tu n'es vraiment pas loin durésultat pour chaque.

  3. #3
    indian58

    Re : trigo MPSI

    Tu n'as peut-être pas encore vu les DL mais pour ta limite voilà comment tu peux faire:

    n ln(1+ 1/n) = n (1/n - 1/2n² + o(1/n²) ) = 1 - 1/2n + o(1/n) ce qui est équivalent à 1 quand n tend vers l'infini donc ta limite est 1.

  4. #4
    invite107660be

    Re : trigo MPSI

    Merci pour vos réponses!
    pour la limite c'est bon j'ai trouvé par contre pour l'encadrement je bloque toujours !

    je trouve beaucoup d'encadrements mais qui ne mènent pas à grand chose

    0 <= intégrale (1-t)^n + e^t dt ca j'ai trouvé
    mais après je ne sais pas quoi faire !

    j'ai aussi :

    0 <= e- sigma 1/k! <= 3 - sigma 1/k!
    0<= 1/n! intégrale(...) <= 3 -sigma 1/k!

    je ne sais plus oû aller !
    gabyse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite35452583

    Re : trigo MPSI

    Ta majoration de va être obtenue avec l'intégrale .
    Dans cette intégrale par quoi peux-tu majorer et ?

  7. #6
    invite107660be

    Re : trigo MPSI

    e^t < 3^t ???

    je ne comprend pas pourquoi tu prends cette intégrale !
    mon intégrale étant ((1-t)^n)e^t dt

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