Démonstration

[invite69baa1f1]

Bonjour,

Je n'arrive pas à démontrer que, pour tout n de N, 0< Un < 2
Sachant que Uo appartient à [0,2] et que Un+1 = (4Un)/(2+Un)

J'ai essayer de faire une démonstration par récurrence mais je suis bloqué? Comment faire?
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[invite2ece6a9a]

Bonsoir,
Si tu connais les derivées, je te conseille d'etudier la fonction 4x/(2+x) et regarder son comportement quand x appartient a [0,2]

[invited5b2473a]

Pour montrer que Un>0, tu peux le faire par récurrence; c'est immédiat.

[invite35452583]

La méthode de lolouki est la plus générale.
Néanmoins, l'indication d'Indian58 est juste et on peut en dire autant pour u_n<=2, en mettant u_n+1 sous la forme u_n+1=4-8(2+u_n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

On peut aussi remarquer que l'énoncé est faux .
Pour Uo = 2, Un = 2 et pour Uo = 0, Un = 0, donc on ne peut pas dire que pour tout n de IN, 0 < Un < 2 quand Uo dans [0 ; 2].

[invite35452583]

On peut aussi remarquer que l'énoncé est faux .
Pour Uo = 2, Un = 2 et pour Uo = 0, Un = 0, donc on ne peut pas dire que pour tout n de IN, 0 < Un < 2 quand Uo dans [0 ; 2].

On peut plutot remarquer qu'il y a une erreur de retranscription de l'énoncé (dans l'attaché l'inégalité est large).