[MPSI] Suites

[Seth.]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide sur une question de mon DM de maths...

Soit décroissante réelle telle que converge vers S.


J'ai prouvé que converge,
que ,
que
et enfin est croissante, et

Ensuite on me demande de prouver que .
Pour cela on me conseille de calculer (ou quelque chose du genre...) et de trouver des innégalités intéressantes.

Mais là je ne vois pas trop ...

Merci de votre aide.
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[invited5b2473a]

0 <- S2n - Sn >= (n+1)*U2n>=0 (car les n+1 Uk sont décroissants >=0).
Donc 2nU2n tend vers 0.

et 0<= (2n+1)U2n+1 = 2nU2n+1 + U2n+1 <= 2nU2n + U2n+1 -> 0
Donc 2n+1U2n+1 tend vers 0.

Donc nUn tend vers 0.

[Seth.]

Merci mais est ce que tu pourrais détailler un peu plus tes calculs...

0 <- C'est une erreur ou il y a véritablement un moins ? S2n - Sn >= (n+1) (ici je trouve n à la place, mais je ne pense pas que ca change les choses) *U2n>=0 (car les n+1 Uk sont décroissants >=0).
Donc 2nU2n tend vers 0. Là je ne trouve pas d'ou viens cette conclusion?
et 0<= (2n+1)U2n+1 = 2nU2n+1 + U2n+1 <= 2nU2n + U2n+1 -> 0
Donc 2n+1U2n+1 tend vers 0. Ici c'est encore plus flou pour moi ...

Donc nUn tend vers 0.

Merci.

[invitec053041c]

Bonsoir.

Connais-tu la moyenne de Cesàro ? Car vu de loin ça semblerait très utilie ici, mais si c'est un résultat que tu n'est pas sensé connaître, alors l'utiliser ne plaira pas forcément à ton prof.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seth.]

oui je connais !
Si une suite converge (ou diverge) vers l (ou l'infini) alors la moyenne de ses termes (1/n * sommes des termes) converge (ou diverge) vers l (ou l'infini) aussi.

j'y avais penser pour la 1ère question mais ca avait pas marché mais pour celle là j'avoue que j'y ai pas pensé !

[Seth.]

On a donc

=>

Et donc d'après les th. des gendarmes les 2 tendent vers 0 donc .

Mais il faut aussi étudier pour les termes impairs? Je pense que c'est très similaire mais les départ m'échappe ...

Est ce que le début du raisonnement est bon ?

Merci de votre aide précieuse ...

[Seth.]

Et


Et toujours d'après le Th des gendarmes:


Les termes pairs et les termes impairs tendent tous vers 0 donc on peut dire que la suite Un converge vers 0.

Le raisonnement est-il bon?

[invited5b2473a]

Pour les termes impairs, tu peux faire comme j'ai fait; c'est plus rapide :

0<=(2n+1)U2n+1 = 2nU2n+1 + U2n+1 <= (car Un décroissante) 2nU2n + U2n+1 et les deux termes de droite tendent vers 0.