[MPSI] Suites (adhérence)

[invite3f53d719]

Bonsoir!

Bon alors j'ai une suite définie par U(n+1)=4Un-(Un)^2. Je suis arrivé à U(n)=4*(sin(2^n*a))^2 avec a = ArcSin(sqrt(U0/4)), U0 donné compris entre 0 et 4. Ensuite j'ai du trouver des valeurs de a pour lesquelles les suites extraites U(2n) et U(2n+1) convergent vers des limites distinctes (valeurs d'adhérence). Pour cela, j'ai résolu U(2n+2)=U(2n), et ensuite trouvé le a correspondant (deux valeurs marchent). Mais la maintenant je suis bloqué, parce qu'il faut que je trouve a de manière à ce que la suite admette 4 puis 8 puis 2^p valeurs d'adhérence. Et ma méthode aboutit à un polynome du 16ème degré pour 4 valeurs d'adhérence Donc voila, si vous avez des idées... (bonne chance parce qu'il y a écrit "plus difficile" sur mon DM, et la dernière fois, le prof nous a pondu une page de correction )

Merci beaucoup pour toute aide

Eric
-----

[invite3f53d719]

Personne

[invite8f53295a]

En fait tu cherches à montrer que la fonction f a un point d'ordre 2^n pour tout n. Par point d'ordre 2^n, j'entends un point x de [0,4] tel que mais pour k < 2^n.
Je ne sais pas comment tu as fait pour n=1, mais j'imagine que tu as interprété f^2 comme un polynôme de degré 4 et résolu une équation de degré 4. En fait il suffisait de prouver que cette équation avait 4 solution distinctes dans [0,4]. Comme les points d'ordre 1 de f sont 0 et 3, les deux autres solutions sont nécessairement des points doubles. Essaye de tracer l'allure de la fonction f^2 et tu verras que l'existence de ces points est claire. Et je vois beaucoup moins de difficultés à généraliser cette méthode pour des points d'ordre supérieur.

[invite8f53295a]

En fait il existe un théorème (dit de Sarkovskii) qui dit que si une fonction continu à un point d'ordre 3, alors elle a un point d'ordre n pour tout n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f53d719]

Merci pour ta réponse!

Je ne sais pas comment tu as fait pour n=1, mais j'imagine que tu as interprété f^2 comme un polynôme de degré 4 et résolu une équation de degré 4. En fait il suffisait de prouver que cette équation avait 4 solution distinctes dans [0,4]. Comme les points d'ordre 1 de f sont 0 et 3, les deux autres solutions sont nécessairement des points doubles. Essaye de tracer l'allure de la fonction f^2 et tu verras que l'existence de ces points est claire. Et je vois beaucoup moins de difficultés à généraliser cette méthode pour des points d'ordre supérieur.

J'ai effectivement résolu le polynome de degré 4 en éliminant 0 et 3 comme solutions. Mais le problème, c'est qu'il ne suffit pas de montrer l'existance, mais de donner des valeurs de a qui aboutissent à 2^p valeurs d'adhérence, et donc avec des polynômes ca ne marche pas pour un ordre plus grand que 2...

Eric

[invite8f53295a]

Il faut vraiment donner les valeurs ? Montrer leur existence ne suffit pas ? Effectivement ça se corse...

[inviteebde0cf1]

Salut, plutot que de resoudre l'equation aux points fixes pour f et ses itérées fof, fofofof, tu devrais plutot te servir de l'axpression de (u_n) en fonction de n : u_n = 4(sin 2^ n a)^ 2. C'est beaucoup plus simple ! Par exemple , pour obtenir 2 valeurs d'adhérence, tu peux prendre a =PI/5. Cela semble se généraliser sans probleme aux cas de 2^ p valeurs d'adhérence.

[invite3f53d719]

Oui, en fait c'est comme ca que j'ai fait, merci! Mais le problème, c'est que je n'arrive pas à montrer que les valeures d'adhérences sont dinstinctes... Mais bon c'est pas très grave