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[MPSI] Suites (adhérence)



  1. #1
    Eric78

    [MPSI] Suites (adhérence)


    ------

    Bonsoir!

    Bon alors j'ai une suite définie par U(n+1)=4Un-(Un)^2. Je suis arrivé à U(n)=4*(sin(2^n*a))^2 avec a = ArcSin(sqrt(U0/4)), U0 donné compris entre 0 et 4. Ensuite j'ai du trouver des valeurs de a pour lesquelles les suites extraites U(2n) et U(2n+1) convergent vers des limites distinctes (valeurs d'adhérence). Pour cela, j'ai résolu U(2n+2)=U(2n), et ensuite trouvé le a correspondant (deux valeurs marchent). Mais la maintenant je suis bloqué, parce qu'il faut que je trouve a de manière à ce que la suite admette 4 puis 8 puis 2^p valeurs d'adhérence. Et ma méthode aboutit à un polynome du 16ème degré pour 4 valeurs d'adhérence Donc voila, si vous avez des idées... (bonne chance parce qu'il y a écrit "plus difficile" sur mon DM, et la dernière fois, le prof nous a pondu une page de correction )

    Merci beaucoup pour toute aide

    Eric

    -----
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  2. Publicité
  3. #2
    Eric78

    Re : [MPSI] Suites (adhérence)

    Personne
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  4. #3
    BS

    Re : [MPSI] Suites (adhérence)

    En fait tu cherches à montrer que la fonction f a un point d'ordre 2^n pour tout n. Par point d'ordre 2^n, j'entends un point x de [0,4] tel que mais pour k < 2^n.
    Je ne sais pas comment tu as fait pour n=1, mais j'imagine que tu as interprété f^2 comme un polynôme de degré 4 et résolu une équation de degré 4. En fait il suffisait de prouver que cette équation avait 4 solution distinctes dans [0,4]. Comme les points d'ordre 1 de f sont 0 et 3, les deux autres solutions sont nécessairement des points doubles. Essaye de tracer l'allure de la fonction f^2 et tu verras que l'existence de ces points est claire. Et je vois beaucoup moins de difficultés à généraliser cette méthode pour des points d'ordre supérieur.

  5. #4
    BS

    Re : [MPSI] Suites (adhérence)

    En fait il existe un théorème (dit de Sarkovskii) qui dit que si une fonction continu à un point d'ordre 3, alors elle a un point d'ordre n pour tout n.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Eric78

    Re : [MPSI] Suites (adhérence)

    Merci pour ta réponse!

    Citation Envoyé par BS
    Je ne sais pas comment tu as fait pour n=1, mais j'imagine que tu as interprété f^2 comme un polynôme de degré 4 et résolu une équation de degré 4. En fait il suffisait de prouver que cette équation avait 4 solution distinctes dans [0,4]. Comme les points d'ordre 1 de f sont 0 et 3, les deux autres solutions sont nécessairement des points doubles. Essaye de tracer l'allure de la fonction f^2 et tu verras que l'existence de ces points est claire. Et je vois beaucoup moins de difficultés à généraliser cette méthode pour des points d'ordre supérieur.
    J'ai effectivement résolu le polynome de degré 4 en éliminant 0 et 3 comme solutions. Mais le problème, c'est qu'il ne suffit pas de montrer l'existance, mais de donner des valeurs de a qui aboutissent à 2^p valeurs d'adhérence, et donc avec des polynômes ca ne marche pas pour un ordre plus grand que 2...

    Eric
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  8. #6
    BS

    Re : [MPSI] Suites (adhérence)

    Il faut vraiment donner les valeurs ? Montrer leur existence ne suffit pas ? Effectivement ça se corse...

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  10. #7
    watashi wa

    Re : [MPSI] Suites (adhérence)

    Salut, plutot que de resoudre l'equation aux points fixes pour f et ses itérées fof, fofofof, tu devrais plutot te servir de l'axpression de (u_n) en fonction de n : u_n = 4(sin 2^ n a)^ 2. C'est beaucoup plus simple ! Par exemple , pour obtenir 2 valeurs d'adhérence, tu peux prendre a =PI/5. Cela semble se généraliser sans probleme aux cas de 2^ p valeurs d'adhérence.

  11. #8
    Eric78

    Re : [MPSI] Suites (adhérence)

    Oui, en fait c'est comme ca que j'ai fait, merci! Mais le problème, c'est que je n'arrive pas à montrer que les valeures d'adhérences sont dinstinctes... Mais bon c'est pas très grave
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