Beau problème d'analyse

[invite3240c37d]

J'ai vu récemment sur le net un beau problème que je soumets à votre sagacité :
Soit une fonction (réels), telle que , et soit une fonction continue.
Montrer que si la fonction est croissante alors

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[invite35452583]

Joli en effet :

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ésumé :
1) f n'a que des "sauts" comme points de discontuité
2) ces sauts sont toujours positifs
3) f ne devient donc "défininitivement" inférieures à une valeur que continuement
1) on montre que f n'a que des points de discontinuité du 1er type : f_d(x) et f_g(x) existent pour tout x intérieur, sur les bords le seul qui peut être défini existe.
En effet :
pour les points autres que 0, f+g est croissante donc pour y tendant vers x en croissant (y<x) (f+g)(y) est croissant donc cela admet une borne supérieure et existe. Or g est continue donc g_g(x) existe et vaut g(x). Et comme f=(f+g)-g f admet aussi une limite pour y->x, y<x, et f_g(x)=(f+g)_g(x)-g_g(x).
Il en est de même pour les limites à droite pour les points autres que 1.

2) En tout point x intérieur on a f_d(x)<=f(x)<=f_g(x), aux points 0 et 1 l'inégalité entre les deux quantités définies est vraie.
En effet, pour y<x<y' ona par croissance f+g :
(f+g)(y')<=(f+g)(x)<=(f+g)(y) en prenant les limites
(f+g)_g(x) <= (f+g)(x) <= (f+g)_d(x) d'où
f_g(x)+g(x) <= f(x)+g(x) <= f_d(x)+g(x) et en retranchant g(x)
f_g(x) <= f(x) <= f_d(x)

3) f atteint toutes les valeurs comprises entre f(0) et f(1)
En effet :
Pour f(0) et f(1) c'est clair
soit m strictement comprise entre f(1) et f(0), l'ensemble X_m={x dans [0,1], tel que f(x)>m} n'est pas vide car contient au moins 0. Il admet donc une borne supérieure x_m.
On a pour ce x_m et y, y' tels que y<x_m<y' on a par définition de X_m et de x_m :
f(y)>m>=f(y')* d'où f_g(x)>=m>=f_d(x).
Or d'après 2) on a f_g(x)<=f_d(x) donc f_d(x)=f_g(x), et toujours d'après 2), =f(x).
Comme m est entre ces deux limites on a m=f_d(x)=f_g(x)=f(x). CQFD
* :
remarque 1 : on ne peut encore rien dire sur f(x_m) car on ne sait pas si x_m est dans X_m ou non.
remarque 2 : si x_m=1 on peut remplacer y' par x_m car par hypothèse m>f(1) (dans ce cas on sait) ce qui finit la preuve.

[invite35452583]

Corrections de quelques imprécisions :

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Pour la point 3 :
y<=x_m<=y' implique bien que f(y')<=m mais pas que f(y)>=m pour tous les y. Mais on remplace par une suite ym de réels convergeant vers x_m en croissant existe par définition d'une borne supérieure tantq ue x_m<0; (Je me disais bien que c'était bizzare que ce point ne soit pas un cas particulier).
Pour x_m=0, on a f(x_m)>m qui permet de résoudre ce cas également.