Produit vectoriel et géométrie

[inviteb4d8c3b4]

Salut à tous,

dites-moi si je suis dans l'erreur:

le résultat du produit vectoriel de par peut-être considéré comme étant l'aire du parallélogramme engendré par ces deux vecteurs:

: OA
: OB

Créons la copie du vecteur translaté de . Cela créé le parallélogramme OAA'B et l'aire de celui-ci est le résultat du produit vectoriel.

Ca, ok, c'est bon mais j'ai souvenir que ce résultat est aussi égal à la norme du vecteur , vecteur normal au plan engendré par la base et et formant donc un trièdre.

Est-ce que ce souvenir est juste ou pas du tout ?

Merci d'avance !
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[invited5b2473a]

Salut à tous,

dites-moi si je suis dans l'erreur:

le résultat du produit vectoriel de par peut-être considéré comme étant l'aire du parallélogramme engendré par ces deux vecteurs:

: OA
: OB

Créons la copie du vecteur translaté de . Cela créé le parallélogramme OAA'B et l'aire de celui-ci est le résultat du produit vectoriel.

Ca, ok, c'est bon mais j'ai souvenir que ce résultat est aussi égal à la norme du vecteur , vecteur normal au plan engendré par la base et et formant donc un trièdre.

Est-ce que ce souvenir est juste ou pas du tout ?

Merci d'avance !

En fait ça dépend de ta dimension.

[inviteb4d8c3b4]

En fait ça dépend de ta dimension.

Hummmm, un peu d'explication serait la bienvenue. Cependant, je me doute que si on est pas dans une dimension 3, ça marche pas. Mais si on est dans ce cas, le produit vectoriel est bien égal à la norme du vecteur , c'est bien ça !?

[invite35452583]

Je suppose que tu te places en dimension 3 : alors le produit vectoriel de u et v est un mélange de tes souvenirs.
Le produit vectoriel est un vecteur donc n'est pas égale à une aire qui est un réel.
Ce qui a de juste est que l'aire du parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel.
Un vecteur est aussi une direction, la direction (et ça rejoint ton autre souvenir) est la perpendiculaire qu pklan engendré par u et v (si u et v sont colinéaires ils n'engendrent pas un plan donc cette direction n'est pas définie mais la norme est égale à 0 car l'aire d'unparrallélogramme aplati est nul. Ouf tout va bien ).
Un vecteur est aussi un sens u^v est tel que (u, v, u^v) soit direct (règle de la main droite par exemple u le pouce, v l'index, u^v le majeur).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4d8c3b4]

Le produit vectoriel est un vecteur donc n'est pas égale à une aire qui est un réel. Ce qui a de juste est que l'aire du parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel.

Oui, c'est ce que voulais dire. Problème de vocabulaire, à revoir.

Un vecteur est aussi une direction, la direction (et ça rejoint ton autre souvenir) est la perpendiculaire au plan engendré par u et v ... Un vecteur est aussi un sens u^v est tel que (u, v, u^v) soit direct

Heu, oui, mais c'est bien ce que j'ai dit, à moins que je me sois encore mal exprimé ?

Donc, je résume:

la norme du produit vectoriel est égal à l'aire du parallélogramme. Ce produit vectoriel, qui est un vecteur, est normal au plan engendré par les deux vecteurs de base. C'est ok là ?

Enfin si c'est ça, merci, j'ai bien mieux compris !

[invite35452583]

Donc, je résume:

la norme du produit vectoriel est égal à l'aire du parallélogramme. Ce produit vectoriel, qui est un vecteur, est normal au plan engendré par les deux vecteurs de base. C'est ok là ?

Bon résumé auquel il manque quand même que u , v et u^v sont comme les trois premiers doigts de la main droite (ou tout autre moyen de définir l'orientation de u^v). Avec le seul résumé, il y a deux sens possibles pour ton vecteur sinon.

[inviteb4d8c3b4]

Ok, merci de vos explication, tout est plus clair !