Normes et séries

[invitec13ffb79]

Bonsoir,

J'ai une question dans un exo à laquelle je n'arrive pas à répondre. Peut-être allez-vous pouvoir m'aider...
Je précise le contexte:

Pour toute suite telle que converge, on a:

et
Je cherche à montrer qu'il existe telle que:



et à préciser la plus petite valeur de qui convient dans l'inégalité précédente.

Pourriez-vous me montrer comment faire svp?
D'avance, merci!
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[invited5b2473a]

Puisque la série de terme |Un| converge, alors Un tend vers 0 quand n tends vers +infini. Ainsi la norme infinie de (Un)n est un certain |Uk|. Donc,
Somme(|Un|) >= |Uk|. Donc alpha<=1. Or, si tu prends la suite (1,0,0,...), sa norme 1 vaut 1, de même que sa norme infinie. Donc alpha = 1.

[invitec13ffb79]

Euh.. J'avoue que je n'ai pas compris ton explication..
Au passage, je ne sais pas si ça peut aider, mais j'ai auparavant prouvé que .

[invite78df7f0b]

Salut,
en effet pour tout u_n telle que la somme des /u_n/ converge, sup(/u_n/) existe dans R+ puisque ta suite doit tendre vers 0.
Si tu prends une suite u vérifiant ce critère, alors soit ses termes sont tous nuls et on a sup(/u_n)=u_0, soit elle a un terme non nul u_p et alors come elle tend vers 0, alors à partir d'un certain rang N, on a /u_n/</u_p/ et alors on a: sup(u_n)=max(u_0, u_1, ..., u_N) donc dans tous les cas le sup de /u_n/ est un certain /u_k/.
Ainsi: sup(/u_n/)=/u_k/<=sum(/u_n) Ainsi tu vois que la norme infinie est touours plus petite que la norme 1. Donc alpha=1 convient. Maintenant on aimerait bien savoir s'il y a un alpha plus petit qui convient encore pour toutes les suites. La réponse est non par le contre-exemple d'indian58.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec13ffb79]

en effet pour tout u_n telle que la somme des /u_n/ converge, sup(/u_n/) existe dans R+ puisque ta suite doit tendre vers 0.

Cela a l'air de te sembler évident... j'ai mis plus de 2h avant de le montrer!
Comment raisonnes-tu? (rigoureusement bien sûr )

Concernant le reste, c'est un peu confus dans ma tête...

[invite78df7f0b]

Cela a l'air de te sembler évident... j'ai mis plus de 2h avant de le montrer!
Comment raisonnes-tu? (rigoureusement bien sûr )

Concernant le reste, c'est un peu confus dans ma tête...

/u_n/ tend vers 0 puisque sa some converge. Donc à partir d'un certain rang N0, on a /u_n/<1 (tu écris la définition de la limite avec epsilon=1). Avant N0, il y a un nombre fini de termes, il y en a donc un plus grand /u_K/. Ainsi: avant N0 tous les termes sont majorés par /u_K/, et après N0 ils sont tous majorés par 1. Docn tous les termes de la suite sont majorés par max(1,/u_K/).

[invitec13ffb79]

Si tu prends une suite u vérifiant ce critère, alors soit ses termes sont tous nuls et on a sup(/u_n)=u_0

Bonsoir,

Quelque chose me gêne ici.
Pourquoi tous les termes seraient nuls? Et dans ce cas, si tous les termes sont nuls, d'où vient ce u_0?

[invitec13ffb79]

Personne pour me répondre? Svp.. Merci!