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juste une petite question sur les normes



  1. #1
    physiquantique

    juste une petite question sur les normes


    ------

    Bonjour à tous ,

    j'ai une question qui me tracasse : dans un espace vectoriel , la norme définit-elle la distance réélle entre 0 et le point ?
    (je me pose cette question à cause de la définition d'une boule ouverte )


    MErci d'avance

    et desolé si cette question est lourde

    -----
    vivons avec légerté

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  3. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : juste une petite question sur les normes

    ben oui, c'est la définition de la distance issue d'une norme: d(x,y)=||x-y||, après tu fais y=0.

  4. #3
    Theyggdrazil

    Re : juste une petite question sur les normes

    Il n'y a pas de "distance réelle" mais une distance "usuelle", qui est généralement donnée par la norme euclidienne.

    Après, dans un espace normé tu peux définir d'autres normes (ne seraient-ce que des normes proportionnelles à la première que tu as définie) qui te donneront des distances bien différentes !
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

  5. #4
    Lévesque

    Re : juste une petite question sur les normes

    Je ne sais pas si ça va dans le sens de la question, mais il y a beaucoup de façon de définir une norme. Si la question sous-entends "norme euclidienne", alors mon message ne sert à rien. Si tu cherches plutot à savoir si la norme d'un vecteur est toujours la distance de sa pointe à l'origine (sa grandeur), alors la réponse est non. Regarde les diférentes définitions de normes sur wiki par exemple.
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  6. #5
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par Lévesque Voir le message
    Je ne sais pas si ça va dans le sens de la question, mais il y a beaucoup de façon de définir une norme. Si la question sous-entends "norme euclidienne", alors mon message ne sert à rien. Si tu cherches plutot à savoir si la norme d'un vecteur est toujours la distance de sa pointe à l'origine (sa grandeur), alors la réponse est non. Regarde les diférentes définitions de normes sur wiki par exemple.
    mais en fait , ce qui me tracasse , c'est que dans une boule le rayon (donc la distance d'un point au centre nn?) peutêtre différente de la distance du centre au point ...
    vivons avec légerté

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par Theyggdrazil Voir le message
    Il n'y a pas de "distance réelle" mais une distance "usuelle", qui est généralement donnée par la norme euclidienne.

    Après, dans un espace normé tu peux définir d'autres normes (ne seraient-ce que des normes proportionnelles à la première que tu as définie) qui te donneront des distances bien différentes !
    je vois , les normes ne définissent rien de représentatif ou visuel ,merci , cela confirme ce que ej pensai
    vivons avec légerté

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  10. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par physiquantique Voir le message
    mais en fait , ce qui me tracasse , c'est que dans une boule le rayon (donc la distance d'un point au centre nn?) peutêtre différente de la distance du centre au point ...
    tu peux donner un exemple?

  11. #8
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    tu peux donner un exemple?
    bah, juste la définition d'une boule ouverte...
    vivons avec légerté

  12. #9
    Médiat

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par Lévesque Voir le message
    Si tu cherches plutot à savoir si la norme d'un vecteur est toujours la distance de sa pointe à l'origine (sa grandeur), alors la réponse est non.
    Je crois au contraire que la réponse est oui, dans la mesure où on peut définir une norme avec une distance et vis-versa, il me semble naturel que lorsque ces deux mots sont utilisés sans précaution dans la même phrase, alors ils se correspondent et par conséquent, la réponse est bien oui.

    Par contre :
    Si tu cherches plutot à savoir si la norme d'un vecteur est toujours la distance euclidienne de sa pointe à l'origine (sa grandeur), alors la réponse est non.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    cyberantoine

    Re : juste une petite question sur les normes

    Pour être plus terre à terre :
    Citation Envoyé par physiquantique Voir le message
    mais en fait , ce qui me tracasse , c'est que dans une boule le rayon (donc la distance d'un point au centre nn?) peutêtre différente de la distance du centre au point ...
    Citation Envoyé par physiquantique Voir le message
    bah, juste la définition d'une boule ouverte...
    de quel point parles tu ?
    Est ce que tu visualises bien ce qu'est une boule ouverte ?
    Dans le cas d'une boule ouverte, la distance définie par le rayon n'est pas atteinte.

    Pour prendre un exemple simple, dans l'espace vectoriel des réels R, muni de la norme euclidienne, on considère la boule ouverte de rayon 1 centrée en 0.
    Ici ton rayon vaut bien 1, mais les points X définis par d(X,0)=1 (le cercle de rayon 1) ne sont pas dans ta boule ouverte. Et tous les points de ta boule ont une distance au centre strictement inférieure à 1 (le rayon).

  14. #11
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par cyberantoine Voir le message
    Pour être plus terre à terre :



    de quel point parles tu ?
    Est ce que tu visualises bien ce qu'est une boule ouverte ?
    Dans le cas d'une boule ouverte, la distance définie par le rayon n'est pas atteinte.

    Pour prendre un exemple simple, dans l'espace vectoriel des réels R, muni de la norme euclidienne, on considère la boule ouverte de rayon 1 centrée en 0.
    Ici ton rayon vaut bien 1, mais les points X définis par d(X,0)=1 (le cercle de rayon 1) ne sont pas dans ta boule ouverte. Et tous les points de ta boule ont une distance au centre strictement inférieure à 1 (le rayon).
    un eobule ouverte c'est un ensemble de point tel que la norme de l'espace dans laquelle elle est , est plus petit que le rayon... nn?
    mais ... le rayon se détermine à partir de la distance du point au centre non?
    vivons avec légerté

  15. #12
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    sinon je comprends pa tro ... ca sert à quoi de définir un rayon qui ne corresponde pas à la distance d'un point au centre ?
    Une boule ouverte c'est bien une boule qui appartient à un ev , tel que le rayon soit strictement plus grand que la distance (à partir de la norme) au centre , non?
    vivons avec légerté

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  17. #13
    invite986312212
    Invité

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par physiquantique Voir le message
    un eobule ouverte c'est un ensemble de point tel que la norme de l'espace dans laquelle elle est , est plus petit que le rayon... nn?
    mais ...
    ça t'a déjà été dit mais j'en remets une couche. Sauf mention du contraire, dans un espace vectoriel normé, la distance découle de la norme.

    Citation Envoyé par physiquantique Voir le message
    le rayon se détermine à partir de la distance du point au centre non?
    cette phrase n'a aucun sens. Quel point d'abord?

  18. #14
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    ça t'a déjà été dit mais j'en remets une couche. Sauf mention du contraire, dans un espace vectoriel normé, la distance découle de la norme.



    cette phrase n'a aucun sens. Quel point d'abord?
    un point quelconque de la boule... bon désolé , je vais essayer de comprendre tous seul... ca a l'air de vous énervez désolé
    vivons avec légerté

  19. #15
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    en fait quand je dis "distance " avec le rayon , je parle de la "vrai distance" , la distance du 0 à x ...
    vivons avec légerté

  20. #16
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    en fait , ce que je ne comprends pas , c'est comment la distance d(x,0) avec x appartenant à la boule ouverte , peut être plus petite que le rayon...
    vivons avec légerté

  21. #17
    invite986312212
    Invité

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par physiquantique Voir le message
    en fait quand je dis "distance " avec le rayon , je parle de la "vrai distance" , la distance du 0 à x ...
    mais c'est quoi pour toi la "vraie distance" ?? dans un e.v.n la distance de 0 à x n'est autre que la norme de x.

  22. #18
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    mais c'est quoi pour toi la "vraie distance" ?? dans un e.v.n la distance de 0 à x n'est autre que la norme de x.
    justement ... le rayon , dans un cercle , c'est pas la distance de ce point x à 0???
    vivons avec légerté

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  24. #19
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    en fait , pour moi , la définition d"une boule ouverte , c'est une boule dont le rayon est plus petit que la distance qui défini l'espace vectoriel da laquelle setrouve la boule , tel que la distance d'un point au centre de la boule soit plus petite strictem. que le rayon.
    et c'est ca qui me pose un problème , mais je me dis que la distance dans un evn ne définit pas forcement la distance "que l'on peut voir" entre deux point , puisqu'elle peut-e^tre exprimée par un nombre infini de relation...

    c'est ca ou pas ?je m'embrouille...
    vivons avec légerté

  25. #20
    cyberantoine

    Re : juste une petite question sur les normes

    Je crois que vous n'êtes pas au même niveau de compréhension. N'amenons pas le débat sur les différentes normes possibles d'un ev et des distances associées. Raisonnons juste sur la norme euclidienne ; sache que la norme euclidienne est la norme la plus naturelle, c'est celle que tu utilises au quotidien pour mesurer des "longueurs". Le concept de distance est alors trés claire, c'est cette dite "longueur".

    Maintenant il me semble que tu n'as pas compris ce qu'était une boule ouverte. Voici déjà la définition d'une boule ouverte :

    Ce qui veut dire que c'est tous les points à l'intérieur de la sphère de centre 0 et de rayon r. C'est l'intérieure de la boule fermée.
    Pour aller vraiment loin (trop?) dans la vulgarisation/représentation, si tu as un ballon de foot de rayon r, c'est l'espace délimité à l'intérieur du ballon mais pas la frontière extérieure : le cuir.


    Maitenant étant donné que l'on peut définir de nombreuses normes (si on reste en trois dimensions) ta boule peut être une sphère (norme euclidienne), un cube...
    Mais comprends bien qu'une distance est associée à une norme. Et ici tu peux tout à fait raisonner indiféremment sur la distance ou la norme.

    Désolé si j'ai été trop loin dans la vulgarisation mais j'ai l'impression que tu te compliques beaucoup les choses.

  26. #21
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par cyberantoine Voir le message
    Je crois que vous n'êtes pas au même niveau de compréhension. N'amenons pas le débat sur les différentes normes possibles d'un ev et des distances associées. Raisonnons juste sur la norme euclidienne ; sache que la norme euclidienne est la norme la plus naturelle, c'est celle que tu utilises au quotidien pour mesurer des "longueurs". Le concept de distance est alors trés claire, c'est cette dite "longueur".

    Maintenant il me semble que tu n'as pas compris ce qu'était une boule ouverte. Voici déjà la définition d'une boule ouverte :

    Ce qui veut dire que c'est tous les points à l'intérieur de la sphère de centre 0 et de rayon r. C'est l'intérieure de la boule fermée.
    Pour aller vraiment loin (trop?) dans la vulgarisation/représentation, si tu as un ballon de foot de rayon r, c'est l'espace délimité à l'intérieur du ballon mais pas la frontière extérieure : le cuir.


    Maitenant étant donné que l'on peut définir de nombreuses normes (si on reste en trois dimensions) ta boule peut être une sphère (norme euclidienne), un cube...
    Mais comprends bien qu'une distance est associée à une norme. Et ici tu peux tout à fait raisonner indiféremment sur la distance ou la norme.

    Désolé si j'ai été trop loin dans la vulgarisation mais j'ai l'impression que tu te compliques beaucoup les choses.
    oui , en fait , j'étais parti dans un truc plu copliqué
    ...
    Mais ... en fait , c'est juste que c'est bizzare de parlé d'un cercle tel que les points ne sooit pas de distance égale au rayon par rapport au centre .
    il suffit de dire que le rayon est plus petit qu'une certaine distance
    vivons avec légerté

  27. #22
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par physiquantique Voir le message
    oui , en fait , j'étais parti dans un truc plu copliqué
    ...
    Mais ... en fait , c'est juste que c'est bizzare de parlé d'un cercle tel que les points ne sooit pas de distance égale au rayon par rapport au centre .
    il suffit de dire que le rayon est plus petit qu'une certaine distance
    en fait , une boule ouverte , c'est une boule qui est défini à partir d'une relation d'infériorité ... mais alors , on peut déterminer une relation d'égalité , et c'est une boule fermée ... je cromprends plus
    vivons avec légerté

  28. #23
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    donc , en fait , une boule ouverte n'est pas déterminée , c'est juste l'intérieur d'une boule fermée,... alors comment on fe pour montrer qu'unbe boule est ouverte ?
    vivons avec légerté

  29. #24
    ericcc

    Re : juste une petite question sur les normes

    Tu te poses trop de questions : dans R prends un intervalle de type ]a,b[ il est dit "ouvert" parce que ses extrémités ne sont pas incluses dans l'intervalle. On peut s'approcher aussi près que l'on veut de a, on ne l'atteindra pas en restant dans l'intervalle.
    A l'inverse l'intervalle [a,b] est dit "fermé" car sa "frontière" appartient à l'intervalle.

    Quand on passe en dimension 3 c'est la même chose. Une "boule" c'est un ensemble de points qui sont définis par leur distance à un point déterminé, le centre.
    Si on définit la boule par une relation telle que la distance soit strictement inférieure à une valeur donnée, c'est une boule ouverte. Si c'est une inégalité large, c'est une boule fermée.
    Après tu as différentes sortes de boules suivant la distance que tu utilises. SI tu prends par exemple comme définition de la distance dans R3 d=Max(x,y,z) tes boules seront des cubes !

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  31. #25
    cyberantoine

    Re : juste une petite question sur les normes

    Raté.
    Une boule ouverte et une boule fermée sont toutes les deux définies par une relation d'infériorité. La boule ouverte, c'est une condition d'infériorité stricte !
    Boule ouverte :

    Boule fermée :

    Et attention :
    Ceci n'est pas une boule !!!

    Donc tu as A inclus dans B. Et A est l'intérieure de B et est parfaitement déterminée.
    Pour montrer qu'une boule est ouverte tu as plusieurs possibilités. Tu peux revenir à la définition ou utiliser des caractérisations, par ex ici montrer que l'intérieur de A c'est A.

  32. #26
    homotopie

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par physiquantique Voir le message
    en fait , une boule ouverte , c'est une boule qui est défini à partir d'une relation d'infériorité ... mais alors , on peut déterminer une relation d'égalité , et c'est une boule fermée ... je cromprends plus
    La boule ouverte est . Ceci la définit bien sans recourrir nécessairment à la boule fermée.
    La boule fermée est .
    La frontière est .
    Pour reprendre l'exemple du ballon de football.
    La boule ouverte est uniquement l'air du ballon de football.
    La frontière est uniquement le cuir.
    La boule fermée est le ballon en entier.

  33. #27
    Médiat

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par physiquantique Voir le message
    en fait , une boule ouverte , c'est une boule qui est défini à partir d'une relation d'infériorité ... mais alors , on peut déterminer une relation d'égalité , et c'est une boule fermée ... je cromprends plus
    Avec < tu as une boule ouverte avec <= tu as une boule fermée (avec = c'est pas une boule)

    EDIT : grillé par homotopie, comme d'habitude, et cyberantoine (sauf que je ne voulais pas parler de frontière pour ne pas embrouiller
    Dernière modification par Médiat ; 19/10/2007 à 15h48.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #28
    cyberantoine

    Re : juste une petite question sur les normes

    J'en profite pour poser une petite question :
    Comment on fait sous latex pour faire la "barre au dessus" et le "rond au dessus", pour faire le fermé et l'intérieur ?

  35. #29
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par cyberantoine Voir le message
    Raté.
    Une boule ouverte et une boule fermée sont toutes les deux définies par une relation d'infériorité. La boule ouverte, c'est une condition d'infériorité stricte !
    Boule ouverte :

    Boule fermée :

    Et attention :
    Ceci n'est pas une boule !!!

    Donc tu as A inclus dans B. Et A est l'intérieure de B et est parfaitement déterminée.
    Pour montrer qu'une boule est ouverte tu as plusieurs possibilités. Tu peux revenir à la définition ou utiliser des caractérisations, par ex ici montrer que l'intérieur de A c'est A.
    ui pas éggalité sinon c une sphère mais ... égalité inferiorité koa ... mais j'ai compris , enfin... pour une obule ouverte ... il doit bien exister un point x tq : d(x,0) = r non? dans ce cas une boule ouverte petetre aussi déterminée comme fermée à partir d'une autre relation ... non?
    vivons avec légerté

  36. #30
    physiquantique

    Re : juste une petite question sur les normes

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    La boule ouverte est . Ceci la définit bien sans recourrir nécessairment à la boule fermée.
    La boule fermée est .
    La frontière est .
    Pour reprendre l'exemple du ballon de football.
    La boule ouverte est uniquement l'air du ballon de football.
    La frontière est uniquement le cuir.
    La boule fermée est le ballon en entier.
    mais l'air possède bien des points tel que la distance soit égal au rayon nn?
    vivons avec légerté

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