Bonjour à tous ,
j'ai une question qui me tracasse : dans un espace vectoriel , la norme définit-elle la distance réélle entre 0 et le point ?
(je me pose cette question à cause de la définition d'une boule ouverte )
MErci d'avance
et desolé si cette question est lourde
ben oui, c'est la définition de la distance issue d'une norme: d(x,y)=||x-y||, après tu fais y=0.
Il n'y a pas de "distance réelle" mais une distance "usuelle", qui est généralement donnée par la norme euclidienne.
Après, dans un espace normé tu peux définir d'autres normes (ne seraient-ce que des normes proportionnelles à la première que tu as définie) qui te donneront des distances bien différentes !
Je ne sais pas si ça va dans le sens de la question, mais il y a beaucoup de façon de définir une norme. Si la question sous-entends "norme euclidienne", alors mon message ne sert à rien. Si tu cherches plutot à savoir si la norme d'un vecteur est toujours la distance de sa pointe à l'origine (sa grandeur), alors la réponse est non. Regarde les diférentes définitions de normes sur wiki par exemple.
mais en fait , ce qui me tracasse , c'est que dans une boule le rayon (donc la distance d'un point au centre nn?) peutêtre différente de la distance du centre au point ...Envoyé par Lévesque
je vois , les normes ne définissent rien de représentatif ou visuel ,merci , cela confirme ce que ej pensai
tu peux donner un exemple?
bah, juste la définition d'une boule ouverte...
Je crois au contraire que la réponse est oui, dans la mesure où on peut définir une norme avec une distance et vis-versa, il me semble naturel que lorsque ces deux mots sont utilisés sans précaution dans la même phrase, alors ils se correspondent et par conséquent, la réponse est bien oui.
Par contre :
Si tu cherches plutot à savoir si la norme d'un vecteur est toujours la distance euclidienne de sa pointe à l'origine (sa grandeur), alors la réponse est non.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pour être plus terre à terre :
de quel point parles tu ?
Est ce que tu visualises bien ce qu'est une boule ouverte ?
Dans le cas d'une boule ouverte, la distance définie par le rayon n'est pas atteinte.
Pour prendre un exemple simple, dans l'espace vectoriel des réels R, muni de la norme euclidienne, on considère la boule ouverte de rayon 1 centrée en 0.
Ici ton rayon vaut bien 1, mais les points X définis par d(X,0)=1 (le cercle de rayon 1) ne sont pas dans ta boule ouverte. Et tous les points de ta boule ont une distance au centre strictement inférieure à 1 (le rayon).
un eobule ouverte c'est un ensemble de point tel que la norme de l'espace dans laquelle elle est , est plus petit que le rayon... nn?
mais ... le rayon se détermine à partir de la distance du point au centre non?
sinon je comprends pa tro ... ca sert à quoi de définir un rayon qui ne corresponde pas à la distance d'un point au centre ?
Une boule ouverte c'est bien une boule qui appartient à un ev , tel que le rayon soit strictement plus grand que la distance (à partir de la norme) au centre , non?
ça t'a déjà été dit mais j'en remets une couche. Sauf mention du contraire, dans un espace vectoriel normé, la distance découle de la norme.
cette phrase n'a aucun sens. Quel point d'abord?
un point quelconque de la boule... bon désolé , je vais essayer de comprendre tous seul... ca a l'air de vous énervez désolé
en fait quand je dis "distance " avec le rayon , je parle de la "vrai distance" , la distance du 0 à x ...
en fait , ce que je ne comprends pas , c'est comment la distance d(x,0) avec x appartenant à la boule ouverte , peut être plus petite que le rayon...
mais c'est quoi pour toi la "vraie distance" ?? dans un e.v.n la distance de 0 à x n'est autre que la norme de x.
justement ... le rayon , dans un cercle , c'est pas la distance de ce point x à 0???
en fait , pour moi , la définition d"une boule ouverte , c'est une boule dont le rayon est plus petit que la distance qui défini l'espace vectoriel da laquelle setrouve la boule , tel que la distance d'un point au centre de la boule soit plus petite strictem. que le rayon.
et c'est ca qui me pose un problème , mais je me dis que la distance dans un evn ne définit pas forcement la distance "que l'on peut voir" entre deux point , puisqu'elle peut-e^tre exprimée par un nombre infini de relation...
c'est ca ou pas ?je m'embrouille...
Je crois que vous n'êtes pas au même niveau de compréhension. N'amenons pas le débat sur les différentes normes possibles d'un ev et des distances associées. Raisonnons juste sur la norme euclidienne ; sache que la norme euclidienne est la norme la plus naturelle, c'est celle que tu utilises au quotidien pour mesurer des "longueurs". Le concept de distance est alors trés claire, c'est cette dite "longueur".
Maintenant il me semble que tu n'as pas compris ce qu'était une boule ouverte. Voici déjà la définition d'une boule ouverte :
Ce qui veut dire que c'est tous les points à l'intérieur de la sphère de centre 0 et de rayon r. C'est l'intérieure de la boule fermée.
Pour aller vraiment loin (trop?) dans la vulgarisation/représentation, si tu as un ballon de foot de rayon r, c'est l'espace délimité à l'intérieur du ballon mais pas la frontière extérieure : le cuir.
Maitenant étant donné que l'on peut définir de nombreuses normes (si on reste en trois dimensions) ta boule peut être une sphère (norme euclidienne), un cube...
Mais comprends bien qu'une distance est associée à une norme. Et ici tu peux tout à fait raisonner indiféremment sur la distance ou la norme.
Désolé si j'ai été trop loin dans la vulgarisation mais j'ai l'impression que tu te compliques beaucoup les choses.
oui , en fait , j'étais parti dans un truc plu copliquéJe crois que vous n'êtes pas au même niveau de compréhension. N'amenons pas le débat sur les différentes normes possibles d'un ev et des distances associées. Raisonnons juste sur la norme euclidienne ; sache que la norme euclidienne est la norme la plus naturelle, c'est celle que tu utilises au quotidien pour mesurer des "longueurs". Le concept de distance est alors trés claire, c'est cette dite "longueur".
Maintenant il me semble que tu n'as pas compris ce qu'était une boule ouverte. Voici déjà la définition d'une boule ouverte :
Ce qui veut dire que c'est tous les points à l'intérieur de la sphère de centre 0 et de rayon r. C'est l'intérieure de la boule fermée.
Pour aller vraiment loin (trop?) dans la vulgarisation/représentation, si tu as un ballon de foot de rayon r, c'est l'espace délimité à l'intérieur du ballon mais pas la frontière extérieure : le cuir.
Maitenant étant donné que l'on peut définir de nombreuses normes (si on reste en trois dimensions) ta boule peut être une sphère (norme euclidienne), un cube...
Mais comprends bien qu'une distance est associée à une norme. Et ici tu peux tout à fait raisonner indiféremment sur la distance ou la norme.
Désolé si j'ai été trop loin dans la vulgarisation mais j'ai l'impression que tu te compliques beaucoup les choses.
...
Mais ... en fait , c'est juste que c'est bizzare de parlé d'un cercle tel que les points ne sooit pas de distance égale au rayon par rapport au centre .
il suffit de dire que le rayon est plus petit qu'une certaine distance
en fait , une boule ouverte , c'est une boule qui est défini à partir d'une relation d'infériorité ... mais alors , on peut déterminer une relation d'égalité , et c'est une boule fermée ... je cromprends plus
donc , en fait , une boule ouverte n'est pas déterminée , c'est juste l'intérieur d'une boule fermée,... alors comment on fe pour montrer qu'unbe boule est ouverte ?
Tu te poses trop de questions : dans R prends un intervalle de type ]a,b[ il est dit "ouvert" parce que ses extrémités ne sont pas incluses dans l'intervalle. On peut s'approcher aussi près que l'on veut de a, on ne l'atteindra pas en restant dans l'intervalle.
A l'inverse l'intervalle [a,b] est dit "fermé" car sa "frontière" appartient à l'intervalle.
Quand on passe en dimension 3 c'est la même chose. Une "boule" c'est un ensemble de points qui sont définis par leur distance à un point déterminé, le centre.
Si on définit la boule par une relation telle que la distance soit strictement inférieure à une valeur donnée, c'est une boule ouverte. Si c'est une inégalité large, c'est une boule fermée.
Après tu as différentes sortes de boules suivant la distance que tu utilises. SI tu prends par exemple comme définition de la distance dans R3 d=Max(x,y,z) tes boules seront des cubes !
Raté.
Une boule ouverte et une boule fermée sont toutes les deux définies par une relation d'infériorité. La boule ouverte, c'est une condition d'infériorité stricte !
Boule ouverte :
Boule fermée :
Et attention :
Ceci n'est pas une boule !!!
Donc tu as A inclus dans B. Et A est l'intérieure de B et est parfaitement déterminée.
Pour montrer qu'une boule est ouverte tu as plusieurs possibilités. Tu peux revenir à la définition ou utiliser des caractérisations, par ex ici montrer que l'intérieur de A c'est A.
La boule ouverte esten fait , une boule ouverte , c'est une boule qui est défini à partir d'une relation d'infériorité ... mais alors , on peut déterminer une relation d'égalité , et c'est une boule fermée ... je cromprends plus
La boule fermée est
La frontière est
Pour reprendre l'exemple du ballon de football.
La boule ouverte est uniquement l'air du ballon de football.
La frontière est uniquement le cuir.
La boule fermée est le ballon en entier.
Avec < tu as une boule ouverte avec <= tu as une boule fermée (avec = c'est pas une boule)en fait , une boule ouverte , c'est une boule qui est défini à partir d'une relation d'infériorité ... mais alors , on peut déterminer une relation d'égalité , et c'est une boule fermée ... je cromprends plus
EDIT : grillé par homotopie, comme d'habitude, et cyberantoine (sauf que je ne voulais pas parler de frontière pour ne pas embrouiller
Dernière modification par Médiat ; 19/10/2007 à 16h48.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'en profite pour poser une petite question :
Comment on fait sous latex pour faire la "barre au dessus" et le "rond au dessus", pour faire le fermé et l'intérieur ?
ui pas éggalité sinon c une sphère mais ... égalité inferiorité koa ... mais j'ai compris , enfin... pour une obule ouverte ... il doit bien exister un point x tq : d(x,0) = r non? dans ce cas une boule ouverte petetre aussi déterminée comme fermée à partir d'une autre relation ... non?Raté.
Une boule ouverte et une boule fermée sont toutes les deux définies par une relation d'infériorité. La boule ouverte, c'est une condition d'infériorité stricte !
Boule ouverte :
Boule fermée :
Et attention :
Donc tu as A inclus dans B. Et A est l'intérieure de B et est parfaitement déterminée.
Pour montrer qu'une boule est ouverte tu as plusieurs possibilités. Tu peux revenir à la définition ou utiliser des caractérisations, par ex ici montrer que l'intérieur de A c'est A.
mais l'air possède bien des points tel que la distance soit égal au rayon nn?La boule ouverte est
La boule fermée est
La frontière est
Pour reprendre l'exemple du ballon de football.
La boule ouverte est uniquement l'air du ballon de football.
La frontière est uniquement le cuir.
La boule fermée est le ballon en entier.
