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Intégrale



  1. #1
    Sharp

    Intégrale


    ------

    Bonjour,
    j'essaye de résoudre un problème du bac, et j'ai tout réussi, sauf la première question!
    Voici le problème:
    On cherche à caractériser les fonctions , dérivables sur , telles que pour tout :

    Pour la première question, on suppose qu'il existe une telle fonction.
    Et on demande de montrer pour tout , que:

    Ce que je ne comprends pas, c'est que dans l'expression recherchée, on a . Pour moi, on devrait avoir:
    Comment se fait-il que le x sorte de l'intégrale?
    Merci d'avance!

    -----

  2. #2
    martial15

    Re : Intégrale

    Salut, ben en fait, dans cette intégrale, le paramètre d'intégration est "t" donc x est une variable qui est indépendante de l'intégration elle peut donc se mettre en facteur devant le signe intégral.
    Pour résoudre cette équation tu passes le deuxième membre de l'équation à droite et tu fais la distributivité de (x-t) puis tu utilise la propriété de linéarité de l'intégrale ensuite tu sort le x de l'intégrale car c'est pas la variable d'intégration.

  3. #3
    Sharp

    Re : Intégrale

    Salut,
    Pour résoudre cette équation tu passes le deuxième membre de l'équation à droite et tu fais la distributivité de (x-t) puis tu utilise la propriété de linéarité de l'intégrale
    J'avais déjà fait ça, bien sûr!
    le paramètre d'intégration est "t" donc x est une variable qui est indépendante de l'intégration elle peut donc se mettre en facteur devant le signe intégral.
    Merci, je n'avais pas pensé à ça en fait!
    Par ailleurs, je ne comprends pas bien la réalité mathématique de la fonction étudiée. Ce que je ne comprends pas, c'est à quoi correspond ce . Je ne comprends pas le "sens" de la variable t.

  4. #4
    Quinto

    Re : Intégrale

    Salut,
    t n'est pas une variable.
    Quand tu cherches les valeurs de phi en un point quelconque x, t n'interviendra pas directement.

    En fait comme tu peux le remarquer, le t est uniquement dans les intégrales, c'est la variable par rapport a laquelle tu integres.

    Mettons que tu aies g(x)=une intégrale de f(t)dt sur [0,x], en fait pourquoi on a pris t au lieu de x? parce que x est deja une variable, celle que l'on utilise pour g.

    Mettons que tu veuilles calculer g(4)
    alors tu calcules l'integrale de f(t)dt sur [0,4]

    si tu avais eu f(x)dx ca n'aura eu aucun sens, puisque l'integrale de f(x)dx signifie que tu fais la somme de toutes les valeurs de f(x)dx pour x variant entre tes bornes d'integrations. Si tu prends les memes variables pour tes bornes d'integration et pour ta fonction a integrer, tu vois bien qu'il y'aura un probleme quelque part.

    En fait en analyse, on utilise beaucoup les intégrales de meme par la suite.
    On a beaucoup de théorème la dessus, que je ne te donnerai pas pour ne pas t'embrouiller et puis parce que ca résolverai ton exercice directement. Mais par exemple, si tu as une fonction définie par une intégrale, comme ici, on aimerai savoir comment elle varie. par exemple la fonction G définie par
    G(t)=intégrale sur R+ de x^(t-1)e^(-x)
    c'est une fonction qui n'est pas très sympa a premiere vue, et qui est tres importante en analyse (et puis surtout qu'elle donne souvent lieu a des sujets de concours ou d'examen)
    En fait on remarque que c'est le prolongement a R+ de la fonction factorielle( si on calcule G(n) pour tout n entier positive on a G(n)=(n-1)!)

    Si tu veux un exemple plus simple d'intégrale paramétrée, en voici un:
    tu as g définie par g(x)=intégrale de f(t)dt pris sur [0,x]

    Ca c'est un classique, c'est rien d'autre que la primitive de f qui s'annule en 0 (dans le cas ou f est continue).

    Un autre exemple,
    g(x)=intégrale de dt/(1+t^x) pris sur [0,+oo[

    En fait, la si tu veux, c'est comme si tu regardais l'aire sous la courbe de la fonction 1/(1+t^x) entre 0 et +oo.
    Si tu prends x=2 tu cherches l'aire sous la courbe de
    1/(1+t²)
    Si tu prends x=3 tu cherches l'aire sous la courbe de
    1/(1+t³)
    et ainsi de suite
    (on peut prendre n'importe quelle valeur, pas que des entiers, par exemple
    Si tu prends x=pi²cos(1) tu cherches l'aire sous la courbe de
    1/(1+t^(pi²cos(1)))
    Dernière modification par Quinto ; 25/10/2004 à 14h17.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Sharp

    Re : Intégrale

    Merci pour cette explication, je commence à saisir, mais ce n'est pas facile!

  7. #6
    Quinto

    Re : Intégrale

    Citation Envoyé par Sharp
    Merci pour cette explication, je commence à saisir, mais ce n'est pas facile!
    Bein c'est un peu de ma faute, je me rend compte que je n'ai pas été super clair.

    Redemande moi si tu ne piges pas.

  8. #7
    Sharp

    Re : Intégrale

    Salut,
    non ça va, j'ai bien compris ton explication, ça devient de plus en plus clair!
    J'ai une question sur les intégrales qui font intervenir à la fois x et t, comme celle que tu as citée:

    Une fois qu'on a intégré, on va trouver une fonction de variable t, mais où x intervient (il me semble). Donc je me demandais si ce genre d'intégration avec paramètre pouvait servir ensuite à faire des suites ou des sommes d'intégrales.
    Par exemple:

    Je te pose cette question, car je me demande à quoi ça peut servir d'avoir une intégrale avec paramètre, et je pensais que ça pouvait par exemple servir à trouver la limite de l'aire sous une courbe paramétrée quand le paramètre tend vers telle ou telle valeur... Enfin bon c'est un peu compliqué comme question!

  9. #8
    Quinto

    Re : Intégrale

    Salut,
    bon en fait j'ai pas du etre clair.

    Bon au lycée en général on a des fonctions de x ou de t, mais pas les 2 a la fois.

    Mettons que tu aies une fonction f de t. Si tu l'integres sur un ensemble [a,b] alors ca revient a trouver en fait une primitive que l'on évalue en b et en a et on en fait la différence. Note que le t n'intervient plus. Autrement dit l'integrale d'une fonction sur un ensemble est un nombre

    Ceci est très important à remarquer.
    Donc en fait la fonction qui associe l'integrale d'une fonction est ce que l'on appelle une forme (ca va dans un espace particulier dans un espace de nombres, et ca a la propriété d'etre linéaire, c'est donc ce que l'on appelle une forme linéaire, mais ca n'a aucune importance de savoir ca, bref!)

    Maintenant si je décide de ne plus intégrer sur [a,b] mais sur un intervalle [a,x], note que ca ne change rien, je chance juste le nom de ma borne a droite. Bon donc ca ne change rien.
    Mais je peux tres bien construire une fonction g qui en 1 va etre l'integrale de f sur [a,1] qui en 2 sera la valeur de l'intégrale de f sur [a,2] et .... et en x qui sera la valeur de l'intégrale de f sur [a,x]

    En faisant ceci, on a donc construit une nouvelle fonction g,à partir de la fonction f, et dans le cas de la fonction que je viens de construire, on a meme un peu plus, g est dérivable et g'=f.
    (ca peut etre interessant a prouver d'ailleurs...)

    Tu vois bien que la dedans je n'ai jamais parlé de t en fin de compte, t est une variable muette.

    Imagine que tu as une calculette, tu lui demandes de faire une operation, tu imagines bien qu'entre le moment ou tu entres ton calcul et le moment ou le résultat ressort, il s'est passé tout plein de chose dans ta calculette, elle a affecté des variables, elle a fait des operations a fait des sommes de variables ou tout ce qui lui passait par la tete, mais a l'arrivé tout ca n'apparait pas, seul le resultat apparait et c'est ce qui t'interesse.
    Bon bein c'est un peu ca qui se passe lorsque tu as une integrale avec parametre, tu as une fonction g qui est définie de la maniere suivante
    g(x)=integrale sur U de f(x,t)dt ou U est un ensemble quelonque (par exemple R)
    tu vois que g ne depend pas de t, notre integrale c'est un peu notre boite dans laquelle se passe plein d'operations en fonction de t, mais a la sortie elle n'apparaissent plus.

    Un autre exemple:

    f(n)=la somme des (nx)^k pour k variant de 0 a 10

    k n'intervient pas vraiment, en fait j'ai meme fait expres de prendre une fonction que l'on pouvait calculer explicitement:

    f(n)=((nx)^11-1)/(nx-1)

    tu vois que k n'intervient plus, k est juste une variable muette.
    k joue ici le meme role que t dans l'exemple plus haut.
    Je pense que c'est plus clair avec des sommes discretes qu'avec des integrales...

  10. #9
    martini_bird

    Re : Intégrale

    En passant: l'exemple le plus simple d'intégrale dépendant d'un paramètre: si on se donne une fonction f continue sur [a, b] que représente la fonction F définie par ?

  11. #10
    Sharp

    Re : Intégrale

    Salut,
    Citation Envoyé par martini_bird
    En passant: l'exemple le plus simple d'intégrale dépendant d'un paramètre: si on se donne une fonction f continue sur [a, b] que représente la fonction F définie par ?
    La primitive de f s'annulant en 0. (je crois en fait que Quinto l'a évoquée, et j'ai vu la démo dans mon livre).
    Merci baucoup en tous cas!
    Mais quand même, est-ce que ce que j'ai écrit dans mon post précédent (l'expression avec la somme) a un sens ou pas?

  12. #11
    martini_bird

    Re : Intégrale

    Citation Envoyé par Sharp
    Salut,
    Mais quand même, est-ce que ce que j'ai écrit dans mon post précédent (l'expression avec la somme) a un sens ou pas?
    Tu as des idées! Malheureusement, ça ne marche pas toujours...

    Point par point:
    est une fontion de x définie pour x>1 (si x<=1, l'intégrale diverge "vers l'infini"). Donc f(0) et f(1) à la poubelle!

    Ce qui fait que la somme
    n'a pas de sens.

    Disons que l'on démarre la somme à x=2: : hélas, cette somme diverge aussi : c'est pas de chance.

    Mais il y a d'autres exemples pour lesquels ça marche!

  13. #12
    Quinto

    Re : Intégrale

    Oui les idées sont la, mais en fait pour avoir le droit de faire des sommes discretes ou des sommes continues de fonctions, il faut verifier certaines choses avant. Sinon ca n'a pas de sens, ou alors en tout cas ca ne sera pas fini.

    Par exemple, la somme de termes tous positifs aura toujours un sens, mais ne sera pas forcement finie.
    La somme de termes pas tous positifs n'a en revanche pas toujours de sens.

    Par exemple, quel serait le sens de la somme de la suite
    -1 pour les rangs pairs
    1 pour les rangs impairs
    ?

    On a qu'a additionner les termes 2 a 2, ca fera toujours 0... et donc la somme vaut 0

    Mais on peut aussi prendre le 1er terme, le mettre a part, et faire la somme de ce qu'il reste.
    Ce qu'il reste aura la meme tete mais décalé de 1, donc on peut refaire la meme idée, et faire des paquets entre les termes positifs et les termes négatis, donc en fait maintenant la nouvelle somme est 1+0=1

    Si on se débrouille on peut aussi trouver 1/2, mais je ne me rappelle plus comment...
    Ce qui prouve que de consider une telle somme n'a pas de sens...

  14. #13
    martini_bird

    Re : Intégrale

    Citation Envoyé par Quinto
    Si on se débrouille on peut aussi trouver 1/2, mais je ne me rappelle plus comment...

    La somme de la série géométrique!

    Si q=-1...

  15. #14
    Sharp

    Re : Intégrale

    Ok, je m'étais dit aussi qu'il y aurait peu-être des problèmes de divergence dans certains cas...
    Par contre martini_bird, il me semble que:

    En mettant comme borne au lieu de n, ne tend vers 1 que pour
    Or ce n'est pas le cas puisque q=-1.
    Donc je ne comprends pas... Une explication?

  16. #15
    martini_bird

    Re : Intégrale

    Tu as tout à fait raison: on passe à la limite la somme partielle, et le résultat est valable si |q|<1. Si on prend q=-1, on écrit une bêtise: ce que j'ai fait pour Quinto qui voulait retrouver la valeur 1/2 à partir de la série (voir fin du #12).

    Avant tout calcul, il faut donc s'assurer que la série est convergente en considérant les sommes partielles ou en utilisant des théorèmes-"raccourcis".

  17. #16
    Sharp

    Re : Intégrale

    Ok, l'erreur était donc fait exprès...

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