Besoin d'aide:Résolution d'eq polynomiales

[invite22dabd20]

Enoncé
P(X) = aX^4 + bX^3 + cX^2 + bX + a

1) Mq P(X) = 0 equivaut à Q (x+1/x) = 0

avec Q (X) = aX^2 + bX + c - 2a

2) Mq si Q a deux racines réelles alors

P(X) = a ( X^2 - uX +1 ) ( x^2 - vX + 1) avec u et v racine de Q

Ma résolution

On pose X = x+ 1/x

1) Q( x +1/x) = a x^4 + bX^3 + cX^2 + bX + a après développement

On retrouve l'exp de P(x)
On a donc Q(x+ 1/x) = 0 équivalent à P(x) = 0

Mais comment conclure que c'est aussi équivalent à P(X) = 0? j'ai un pb de variable

2)
Q(X) a deux racines réelle donc delta > 0

On a donc u = (- b + (b^2 - 4ac + 8a^2)^1/2 )/ (2a)

et v = (- b - (b^2 - 4ac + 8a^2)^1/2 )/ (2a)


Je remplace u et v par leur valeur dans l'expression de P(X) et je retombe sur l'eq de P(X) de départ à savoir : P(X) = aX^4+ bX^3 + cX^2 + bX + a

Mais est ce que cela prouve vraiment que si u et v solutions de Q alors P(X) = a ( X^2 - uX +1 ) ( x^2 - vX + 1) ??

Je suis désolée c'est un peu long, mais je vous remercie par avance de votre aide

Cordialement

Lil
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[shokin]

P(X) = aX^4 + bX^3 + cX^2 + bX + a

=x^2(a(x^2+x^(-2))+b(x^1+x^(-1))+c)

=x^2(a(x+1/x)(x+1/x)+b(x+1/x)+c-2a)

=x^2(ay^2+by+c-2a) avec y=x+1/x

Si P(x)=0, ay^2+by+c-2a=0 tu trouves y, puis x.

y1=(-b+RACINE(b^2-4ac+8a^2))/2a

y2=(-b-RACINE(b^2-4ac+8a^2))/2a

P(x)=a(x^2-y1x+1)(x^2-y2x+1) avec y1 et y2 racines de Q.

=a(x^2+1-y1x)(x^2+1-y2x)

=ax^2(x+1/x-y1)(x+1/x-y2)

1)=ax^2(y1-y1)(y1-y2)=0
2)=ax^2(y2-y1)(y2-y2)=0

Ce qui est vrai, car si y1 et y2 sont les racines de Q, avec y=x+1/x, P(x)=0...

Shokin