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Besoin d'aide:Résolution d'eq polynomiales



  1. #1
    lil

    Besoin d'aide:Résolution d'eq polynomiales


    ------

    Enoncé
    P(X) = aX^4 + bX^3 + cX^2 + bX + a

    1) Mq P(X) = 0 equivaut à Q (x+1/x) = 0

    avec Q (X) = aX^2 + bX + c - 2a

    2) Mq si Q a deux racines réelles alors

    P(X) = a ( X^2 - uX +1 ) ( x^2 - vX + 1) avec u et v racine de Q

    Ma résolution

    On pose X = x+ 1/x

    1) Q( x +1/x) = a x^4 + bX^3 + cX^2 + bX + a après développement

    On retrouve l'exp de P(x)
    On a donc Q(x+ 1/x) = 0 équivalent à P(x) = 0

    Mais comment conclure que c'est aussi équivalent à P(X) = 0? j'ai un pb de variable

    2)
    Q(X) a deux racines réelle donc delta > 0

    On a donc u = (- b + (b^2 - 4ac + 8a^2)^1/2 )/ (2a)

    et v = (- b - (b^2 - 4ac + 8a^2)^1/2 )/ (2a)


    Je remplace u et v par leur valeur dans l'expression de P(X) et je retombe sur l'eq de P(X) de départ à savoir : P(X) = aX^4+ bX^3 + cX^2 + bX + a

    Mais est ce que cela prouve vraiment que si u et v solutions de Q alors P(X) = a ( X^2 - uX +1 ) ( x^2 - vX + 1) ??

    Je suis désolée c'est un peu long, mais je vous remercie par avance de votre aide

    Cordialement

    Lil

    -----

  2. #2
    shokin

    Re : Besoin d'aide:Résolution d'eq polynomiales

    P(X) = aX^4 + bX^3 + cX^2 + bX + a

    =x^2(a(x^2+x^(-2))+b(x^1+x^(-1))+c)

    =x^2(a(x+1/x)(x+1/x)+b(x+1/x)+c-2a)

    =x^2(ay^2+by+c-2a) avec y=x+1/x

    Si P(x)=0, ay^2+by+c-2a=0 tu trouves y, puis x.

    y1=(-b+RACINE(b^2-4ac+8a^2))/2a

    y2=(-b-RACINE(b^2-4ac+8a^2))/2a

    P(x)=a(x^2-y1x+1)(x^2-y2x+1) avec y1 et y2 racines de Q.

    =a(x^2+1-y1x)(x^2+1-y2x)

    =ax^2(x+1/x-y1)(x+1/x-y2)

    1)=ax^2(y1-y1)(y1-y2)=0
    2)=ax^2(y2-y1)(y2-y2)=0

    Ce qui est vrai, car si y1 et y2 sont les racines de Q, avec y=x+1/x, P(x)=0...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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