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Intégrales et trigonométrie



  1. #1
    maseru

    Intégrales et trigonométrie


    ------

    Exercice prépa eco 1ère année:
    Bonjour,
    pour tout n≥1, I n = ∫ de 0 à π t cos(nt) dt
    K n = ∫ de 0 à π t²cos(nt) dt

    En calculant I n et K n en fonction de n, je trouve:

    I n = (π/n)sin (nπ) + (1/n²)cos(nπ) - 1/n²

    K n = (π²/n)sin(nπ) + (2π/n²)cos(nπ) - (2/n^3)sin(nπ)

    --> je ne sais même pas si ces deux développements sont corrects

    On me demande ensuite d'en déduire que :
    pour tout n≥1, 1/n² = ∫ de 0 à π ((t²/(2π))-t) cos(nt) dt

    ie, si je ne me suis pas trompé: 1/n² = (K n)/2π - I n

    seulement voilà; je trouve que:

    (K n)/2π - I n = (π²/n)sin(nπ) - (2/n^3)sin(nπ) - (π/n)sin (nπ) + 1/n²

    et je ne sais pas comment démontrer que cette expression est égale à 1/n²

    Si vous avez des pistes, merci d'avance.

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