intégrale bts

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j'ai commencer a resoudre cette intégrale:
I=\int_{4}^{9} (2x^4+x²+x+1)/(x^3+x²+x) dx

j'ai fait la division euclydienne j'ai trouvé Q=2x-2 et R=x²+2x+1

ensuite j'ai I=2x-2+(x²+2x+1)/(x^3+x²+x)

et c'est là que j'ai un problème, pour factoriser le dénominateur je suis pas sûr j'ai factoriser par x donc sa donne x(x²+x+1)

Après je décompose en poles: je trouve a/x + bx+c/x²+x+1
=(a+b)x² + (a+c)x + a

ensuite donc b=-4
a+b=-3 c=-3
a+c=-2
a=1

d'ou (x²+2x+1)/x(x²+x+1)=1/x+(-4x-3)/(x²+x+1)

donc la primitive de fin sa donne: [x²-2x+lnx+.............]4à9

Pour ce qui ya entre pointillé (primitive de (-4x-3)/(x²+x+1)) il faut passer par arc tan je pense mais je suis blocké. Merci de m'aider.
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[invite7d436771]

Bonjour,

Une idée rapidemenet tu écris x²=3x²-2x² dans ton numératuer tu as une forme u'/u qui apparaît et un truc moins sympa. Tu simplifies cette deuxième fraction par x. Tu écris -2x=-2x+1-1 pour faire à nouveau apparaître un u'/u. puis il te reste un arctan à trouver en passant par la forme canonique du dénominateur.

Je repasserai cette aprèm pour développer si besoin.

Cordialement,

Nox

PS Autre solution tu bidouilles de la même manière la fraction que tu ne sais pas intégrer en faisant apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur ...

[invitead458797]

Oui j'aimerais bien que tu développe s'il te plaît en me précisant à quelle question tu répond. Merci de ton aide.

[invite7d436771]

Bonjour,

Alors en le reprenant plus précisément je viens de me rendre compte que ta division euclidienne est fausse (si tu ne t'es pas trompé en recopiant l'intégrale). Conseil : après une division euclidienne ça prends 2 min de redévelopper pour voir si on ne s'est pas trop tromper et ça évite de passer 3 heures sur une intégrale (souvent le moindre terme fait que tu peux intégrer ou pas). Je trouve et non . Et cela corse un peu la tâche a priori (pour faire apparaître la dérivée).
Alors le problème est que tu ne sais pas directement intégrer . Dans ces cas là (quand le degré du polynôme du numérateur est plus petit que celui du dénominateur), on essaie de faire apparaître la dérivée du polynôme du dénominateur au numérateur, histoire de se retrouver avec une forme u'/u que l'on intègre en ln(abs(u)). On applique cette méthode ici. On écrit .
Le premier terme s'intègre sans trop de problème. Pour intégrer , on utilise le même procédé. . De même le premier terme s'intègre sans trop de difficulté. Pour le deuxième, il faut mettre le dénominateur sous forme canonique, et s'arranger pour retomber sur une forme qui s'intègre en .
J'ai pas très envie de mener le calcul exact dans l'immédiat ... Et je me demande s'il n'existe pas une méthode plus efficace, parce que celle là est vraiment lourde ...

Cordialement,

Nox

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7d436771]

Bonjour,

Alors en le reprenant plus précisément je viens de me rendre compte que ta division euclidienne est fausse (si tu ne t'es pas trompé en recopiant l'intégrale). Conseil : après une division euclidienne ça prends 2 min de redévelopper pour voir si on ne s'est pas trop tromper et ça évite de passer 3 heures sur une intégrale (souvent le moindre terme fait que tu peux intégrer ou pas). Je trouve et non . Et cela corse un peu la tâche a priori (pour faire apparaître la dérivée).
Alors le problème est que tu ne sais pas directement intégrer . Dans ces cas là (quand le degré du polynôme du numérateur est plus petit que celui du dénominateur), on essaie de faire apparaître la dérivée du polynôme du dénominateur au numérateur, histoire de se retrouver avec une forme u'/u que l'on intègre en ln(abs(u)). On applique cette méthode ici. On écrit .
Le premier terme s'intègre sans trop de problème. Pour intégrer , on utilise le même procédé. . De même le premier terme s'intègre sans trop de difficulté. Pour le deuxième, il faut mettre le dénominateur sous forme canonique, et s'arranger pour retomber sur une forme qui s'intègre en .
J'ai pas très envie de mener le calcul exact dans l'immédiat ... Et je me demande s'il n'existe pas une méthode plus efficace, parce que celle là est vraiment lourde ...

Cordialement,

Nox

PS
PS 2 Sorry pour le doublon si un modo pouvait virer le premier ça serait cool. Merci d'avance

[invitead458797]

J'ai essayer de comprendre ta technique. Sa me paraît juste mais nous on nous a appris a faire comme sa:
1)simplification de la fraction par divisions euclydienne
2)factorisation du dénominateur
3)Décomposition en pôles
4)primitives par les techniques adaptées.

Pour la division euclydienne, en effet j'avait faut merci.

j'aimerais voir du a/...... + bx+c/..... + d/..... si tu vois ce que je veux dire.

Voila merci.

[invite7d436771]

Bonjour,

OK j'essayerai de regarder ça d'ici ce soir mais pour l'instant je fais une pause ^^.

Cordialement,

Nox

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Enfaite je pense que mon premier truc est juste ( a par la division )et qu'il faut juste que je primitive (-4x-3)/(x²+x+1) pour trouver ton 4arctan(((2x+1)/racine3))/racine3. tu en pense quoi ?

[invite7d436771]

Bonsoir,

Ton raisonnement peut être bon mais ce n'est pas la méthode que je pense être la plus utilisée. Et intégrer ton expression ne peut pas donner un arctan car tu as un polynôme de degré 1 au numérateur ... En revanche, tu peux obtenir un ln plus un arctan (en utilisant ma méthode par exemple - ou la tienne).

Cordialement,

Nox

[invitead458797]

Bonsoir,
Et bien je te remercie de ton aide et je vais essayer de finir sa.

[invitead458797]

Une question:
Est-tu sur pour ta racine de 3 sous toute l'expression parce que moi je l'ai que sous le 4. Je trouve 4/racine 3 arctan(2x+1/racine 3)

[invitead458797]

Aussi dans ta réponse finale où sont passer les 2 fractions que l'on integre en ln?

moi j'ai x²-2x+ln(x^3+x²+x)-ln(x²+x+1)+4arctan(2x+1/racine3)/racine3

c'est sa?

[invite7d436771]

Bonsoir,

Mon expression est forcément juste puisque ce n'est pas moi qui l'ai calculé mais un logiciel de calcul d'intégrales. Les 2 ln que tu obtiens se simplifient pour faire ln(x) d'après les opérations sur les différences de ln.

Cordialement,

Nox