Problème de probas

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

J´ai un problème de probas qui apparament est classique, mais il me laisse perplexe, car en utilisant une logique "intuitive" j´arrive à un résultat complètement différent de la correction, donc ou bien j´ai pas compris l´énoncé, ou bien mon intuition me joue des tours.
Je reproduis ici l´énoncé de ce problème mot-à-mot.

Lors d´un jeu télévisé le présentateur montre au candidat trois portes, P₁, P₂ et P₃ et lui dit: "derrière l´une de ces portes se trouve une automobile et derière les deux autres il n´y a rien. De plus, je sais où se trouve l´automobile". Puis il demande au candidat de choisir une porte; Le candidat choisit P₁. Le présentateur dit ensuite "je vais ouvrir une autre porte que P₁ et vous pourrez constater qu´il n´y a rien derrière". Il ouvre alors la porte P₂ et effectivement, il n´y a rien derrière. Il demande alors au candidat: "Que voulez-vous faire? Garder P₁ que j´ouvrirai, ou voulez-vous que j´ouvre P₃?"

Pouvez-vous aider le candidat à l´aide des probabilités conditionnelles?

Bon ben à première vu, j´aurais dit (et je dis encore ) qu´il faut pas chercher midi à 14 heures: Le présentateur a ouvert P₂ et il n´y a rien derrière. Donc la bagnole se trouve derrière P₁ ou P₃ et s´est tout. Donc la probabilité qu´elle se trouve derrière P₁ (ou P₃) est 1/2. Et pour moi, le problème est liquidé.

Mais au lieu de faire ça, le correcteur fait comme suit:

A_i = {"La voiture se trouver derrière P_i"} i est dans {1,2,3}

P(A_i) = 1/3
B = {"Le présentateur ouvre la porte P₂"}
(Déjà ce B me laisse perplèxe car je croyais qu´il ouvre de toutes façons la porte B)

On doit calculer P(A₁ sachant B) et P(A₃ sachant B)

P(A₁ sachant B) = P(A1 inter B)/P(B)
P(A₃ sachant B) = P(A3 inter B)/P(B)



P(B sachant A1) est la probabilité que le présentateur ouvre P2 sachant que l´automobile se trouve derrière P1. P(B sachant A1) = 1/2

P(B sachant A3) est la probabilité que le présentateur ouvre P2 sachant que l´automobile se trouve derrière P3. P(B sachant A3) = 1

P(B sachant A2) = 0

Ensuite on calcule P(B) = Somme [P(B inter Ai)] = 1/2

Donc P(A1 sachant B) = 1/3 et P(A3 sachant B) = 2/3

Donc d´après cette correction, il faut choisir la porte P3.

Franchement je nage... Je crois que j´ai un problème d´énoncé.

Merci de vos suggestions.

Christophe
-----

[invite636fa06b]

Bonjour,
C'est un très grand classique qui choque l'intuition mais la correction est correcte. Ce qu'il faut voir, c'est que le présentateur ne peut ouvrir qu'une porte derrière laquelle il n'y a rien. Il ne décide de la porte à ouvrir qu'après le premier choix du joueur.
En faisant une recherche tu dois pouvoir trouver plusieurs discussion sur ce pb

[ericcc]

Regarde sur Google : Monty Hall, il y a une littérature abondante sur le sujet. Et un bon article sur Wkipedia, je crois.

[christophe_de_Berlin]

merci je vais voir

[A voir en vidéo sur Futura]