des Probas à la poste !

[invite6f09e0b2]

Bonjour à tous ! je suis actuellement étudiant en 3ème année de physique , et comme vous l'aurez surement deviné, je fais de la proba ! Or il s'avère que je ne suis pas franchement un bon probabiliste :s

en fait je dois faire un exercice, et j'ai commencé à réflêchir dessus, j'aimerais, si possible que vous me disiez ce que vous en pensez.

Sujet:
Trois lients, A,B et Carrivent au même temps 0 à la poste,où deux guichets sont ouverts, qu'occupent A et B tout de suite. C remplace le 1er des deux qui à terminé.on admet que les temps e servive X,Y et Z requis par ces trois clients sont des v.a.r.i.i.d de même loi E(a)
-quelle est la loi du temps d'attente T de C ?
-Calculer la proba que C termine (et parte) le dernier
-calculer la loi du temps de départ

Mes réponses:
-le temps d'attente T de C, sera logiquement le temps de service le plus cours entre X et Y
maintenant, comment le noter mathématiquement ?
Cela doit être quelquechose comme T=min(X;Y) ?

-la proba que C parte en dernier, bon ça se complique un peu là
car il faut que le temps de service de Z de C additioné à son temps d'attente soit supérieure que le temps de service du plus long entre A et B,
je dirais alors
min(X;Y)+Z > max(X;Y)

sachant que X et Y et Z on la même loi E(a), je sais pas comment en tirrer la proba en fait, bon on devine qu'il y a plus de chance pour que C parte le dernier quand même.
Peut être est ce quelque chose comme ça ?
P(C parte en dernier)=P(E(min(X;Y))+P(E(Z)) >P(E(max(X;Y)))

-dernière question
le dernier départ c'est le max entre Z,(T+Y ou T+X), mais comme avant je ne sais pas le traduire en language mathématique

Je remercie tout les personnes qui auront prisent un peu de leur temps pour m'aider ^^
a+!
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[invite986312212]

salut, si E(a) signifie: "la loi exponentielle de paramètre a" tu as de la chance, les choses se passent bien avec cette loi. La loi du minimum entre deux E(a) est un E(2a). Ca se démontre facilement en considérant la superposition de deux processus de Poisson indépendants. Ca signifie que si le temps moyen de service d'une personne est de 10 minutes, et si tu arrives alors qu'il n'y a qu'un guichet d'ouvert et une personne en cours de service, tu vas attendre en moyenne 10 minutes. Mais si tu arrives et qu'il y a k guichets ouverts avec une personne à chaque guichet, ton temps moyen d'attente est de 10/k minutes.

[invite6f09e0b2]

voui je crois a peu près comprendre ce que tu dis, je vais voir ce qu'ils disent dans mes cours sur les lois exponentielles et de poissons, car rien n'est précisé quand à la nature de la loi dans l'énoncé.

Mais bon après va falloir traduire ça en language mathematique ^^ ça va être...acrobatique je dirais

merci pour ton aide

[invite986312212]

ce n'est peut-être pas la peine de se plonger dans le processus de Poisson.

si suit la loi exponentielle de paramètre a, on peut montrer que . Soient alors deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi Exp(a). On a

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

ah au fait, il y a deux façons de paramétrer la loi exponentielle, soit en termes de taux d'arrivées (comme j'ai écrit plus haut), soit en termes de temps moyen. dans ce cas, si est le temps de service moyen, alors le minimum de deux exponentielles suit la loi exponentielle de paramètre (et non ). Les physiciens aiment bien parler de temps moyen et les probabilistes de taux (parce qu'ils ont le processus de Poisson en tête).

[invite6f09e0b2]

oui ça doit être des lois exponentielles (c'est ce qu'on fait en ce moment)
ok je comprend le début, je crois, c'est ce que j'ai écrits, mais avec le language de proba c'est ça ? (pour la 1ere question )
et je suppose que je peut poser le max de manière symétrique par rapport au min,

alors la loi serait P(T)=exp(-2at)

pour la deuxème
P(C parte en dernier)=P(E(min(X;Y))+P(E(Z)) > E(max(X;Y))
=P(exp(-2at) > exp(2at)) =>là je pense pas avoir juste

la troisieme
max(Z,(T+Y ou T+X))
donc exp(-at)[2exp(-at)] la j'ai l'impression de m'embrouiller encore plus Oo