Trouvez la forme rationnel de...

[invite05d90db7]

Bonjour,

Voilà l'énoncé, il est tout simple:
"Mettre √2 + √3 + √5 sous forme rationnel."

J'ai essayé de multiplier par des formes conjugués, j'ai même multiplier par 2/2 afin de faire apparaître cos(π/4) et cos(π/6)....sans que tout cela n'est aboutit. Je tourne en rond avec plusieurs racines.
Bref, je ne sais vraiment plus quoi faire. Des idées?
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[invitea3eb043e]

J'ai un soupçon car si on fait le calcul numérique, on trouve un développement tordu qui n'évoque pas un nombre rationnel simple.

[breukin]

Ce nombre n'a aucune chance d'être rationnel (de la forme p/q).
Dans le contexte de l'exercice, quel peut être ici le sens donné au mot rationnel ?

[invitec053041c]

Ce nombre n'a aucune chance d'être rationnel (de la forme p/q).

Pourquoi ?
C'est peut-être vrai, mais on n'a pas de résultat immédiat sur la somme d'irrationnels.
Par exemple, Pi l'est, 1-Pi aussi, et leur somme ne l'est pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Pourquoi ?
C'est peut-être vrai, mais on n'a pas de résultat immédiat sur la somme d'irrationnels.
Par exemple, Pi l'est, 1-Pi aussi, et leur somme ne l'est pas.

Si est rationnel, on a pour un rationnel r
, or , or sont Q-indépendants donc le membvre de droite n'est pas rationnel et donc distinct de 5.
Pour ce dernier point deux techniques (au moins) sont possibles : théorie des corps algébriques (racine de 3 n'est pas dans Q(racine(2))... ça demande d'introduire beaucoup pour un seul résultat mais c'est le plus rapide quand on connaît) et une méthode arithmétique.
Si , on a alors :

avec a, b , c et d rationnels. Mais on peut multiplier a, b c et d par un entier de tlle manièr que l'équation soit vérifiée pour a, b c et d entiers. On va trouver une contradiction par méthode descendante. Il existe un couple (a,b) tel que lal+lbl soit minimal.
Comme n'est pas rationnel, on a alors
ab=3cd (1) et a²+2b²=3(c²+2d²) (2)
De (1) on déduit que a ou b est un multiple de 3, de (2) on a en particulier a²+2b² est un multiple de 3, donc, en rapprochant ces deux résultats, a et b sont multiples de 3. ab=3cd avec a=3a' et b=3b' donc 3a'b'=cd c ou d est un multiple de 3, de (2) on déduit que 3(a'²+2b'²)=c²+2d² et on en déduit que c et d sont des multiples de 3.
On a alors c=3c' et d=3d' et a'²+2b'²=3(c'²+2d'²) mais avec la'l+lb'l=(lal+lbl)/3 ce qui contredit la minimalité de (a,b).

[invite4ef352d8]

Je confirme que a=sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5) est irationelle.

on peut vérifier (par un calcule pénible que je recomande de faire sur ordinateur) que -40*a^6+a^8+352*a^4+576-960*a^2=0

et on peut vérifier par les methodes classique que ce polynome n'as pas de racine rationel : si P(p/q)=0 et p et q premier entre eux, on a neccessairement p|576 et q|1. on vérifie ensuite qu'aucun des diviseurs de 576 n'est racines de P...

[invite05d90db7]

Ah, alors si je comprends bien c'est l'énoncé qui est faux. Cela m'étonne un peu, mais c'est vrai que cela expliquerai pourquoi personne n'y arrive.
Merci pour vos explications!