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Trouvez la forme rationnel de...



  1. #1
    uoscip

    Trouvez la forme rationnel de...


    ------

    Bonjour,

    Voilà l'énoncé, il est tout simple:
    "Mettre √2 + √3 + √5 sous forme rationnel."

    J'ai essayé de multiplier par des formes conjugués, j'ai même multiplier par 2/2 afin de faire apparaître cos(π/4) et cos(π/6)....sans que tout cela n'est aboutit. Je tourne en rond avec plusieurs racines.
    Bref, je ne sais vraiment plus quoi faire. Des idées?

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Trouvez la forme rationnel de...

    J'ai un soupçon car si on fait le calcul numérique, on trouve un développement tordu qui n'évoque pas un nombre rationnel simple.

  4. #3
    breukin

    Re : Trouvez la forme rationnel de...

    Ce nombre n'a aucune chance d'être rationnel (de la forme p/q).
    Dans le contexte de l'exercice, quel peut être ici le sens donné au mot rationnel ?

  5. #4
    Ledescat

    Re : Trouvez la forme rationnel de...

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    Ce nombre n'a aucune chance d'être rationnel (de la forme p/q).
    Pourquoi ?
    C'est peut-être vrai, mais on n'a pas de résultat immédiat sur la somme d'irrationnels.
    Par exemple, Pi l'est, 1-Pi aussi, et leur somme ne l'est pas.
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    homotopie

    Re : Trouvez la forme rationnel de...

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Pourquoi ?
    C'est peut-être vrai, mais on n'a pas de résultat immédiat sur la somme d'irrationnels.
    Par exemple, Pi l'est, 1-Pi aussi, et leur somme ne l'est pas.
    Si est rationnel, on a pour un rationnel r
    , or , or sont Q-indépendants donc le membvre de droite n'est pas rationnel et donc distinct de 5.
    Pour ce dernier point deux techniques (au moins) sont possibles : théorie des corps algébriques (racine de 3 n'est pas dans Q(racine(2))... ça demande d'introduire beaucoup pour un seul résultat mais c'est le plus rapide quand on connaît) et une méthode arithmétique.
    Si , on a alors :

    avec a, b , c et d rationnels. Mais on peut multiplier a, b c et d par un entier de tlle manièr que l'équation soit vérifiée pour a, b c et d entiers. On va trouver une contradiction par méthode descendante. Il existe un couple (a,b) tel que lal+lbl soit minimal.
    Comme n'est pas rationnel, on a alors
    ab=3cd (1) et a²+2b²=3(c²+2d²) (2)
    De (1) on déduit que a ou b est un multiple de 3, de (2) on a en particulier a²+2b² est un multiple de 3, donc, en rapprochant ces deux résultats, a et b sont multiples de 3. ab=3cd avec a=3a' et b=3b' donc 3a'b'=cd c ou d est un multiple de 3, de (2) on déduit que 3(a'²+2b'²)=c²+2d² et on en déduit que c et d sont des multiples de 3.
    On a alors c=3c' et d=3d' et a'²+2b'²=3(c'²+2d'²) mais avec la'l+lb'l=(lal+lbl)/3 ce qui contredit la minimalité de (a,b).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : Trouvez la forme rationnel de...

    Je confirme que a=sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5) est irationelle.

    on peut vérifier (par un calcule pénible que je recomande de faire sur ordinateur) que -40*a^6+a^8+352*a^4+576-960*a^2=0

    et on peut vérifier par les methodes classique que ce polynome n'as pas de racine rationel : si P(p/q)=0 et p et q premier entre eux, on a neccessairement p|576 et q|1. on vérifie ensuite qu'aucun des diviseurs de 576 n'est racines de P...

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  10. #7
    uoscip

    Re : Trouvez la forme rationnel de...

    Ah, alors si je comprends bien c'est l'énoncé qui est faux. Cela m'étonne un peu, mais c'est vrai que cela expliquerai pourquoi personne n'y arrive.
    Merci pour vos explications!

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