Bonsoir,
J'ai du mal a etablir une inegalite sur les integrales,
on considere f et g continues definies sur [a,b] de R dans R.f>0 sur [a,b] et integrale de a à b de f(x) =1 et g est a valeur dans I intervalle de R.
P application de classe C2 convexe.
Montrer que P(integrale de a à b f(x)*g(x))<=integrale de a à b de P(g(x))*f(x).
Voila merci .
A la physicien : (sans aucune rigueur mathématique, d'ailleurs je ne vois pas comment le prouver proprement)
On sait que pour une application convexe P: pour (xi)
P(somme (ki*xi)) <= somme (ki*P(xi)) à condition que somme(ki) = 1
Ici ca revient au même en prenant ki=f(x)dx (vu que "somme" des f(x)dx = 1)
(Bon d'accord c'est très moche cette manière de raisonner)
J'espère t'avoir donné une intuition pour démarrer...
Ben en fait je croit comprendre que tu essaye d'utiliser l'inegalite de jensen mais la ce sont des integraleset pas de sommes meme si en fait ca colle avec cela , mais comment transforme une integrale en somme, on pourrait peut etre l'approche par une fonction continue par morceau , mais bon je pense que ce serai trop difficile de faire comme ca.
Je propose un truc :
- intégrale (fg) = lim somme (k=0..n-1, 1/n*f(k/n)*g(k/n))
Notons Sn cette somme et notons
- Posons En=intégrale ([0,1] , f) - somme (k=0..n-1, 1/n*f(k/n))
- P(Sn + En)=P(somme (k=0..n-1, 1/n*f(k/n)*g(k/n))*1)
Sachant que somme (k=0..n-1, 1/n*f(k/n))+En = 1
On a par inégalité de convexité :
P(Sn+En)<=somme (k=0..n-1, 1/n*f(k/n)*P(g(k/n)))*1) + En*P(1)
Puis lorsque n tend vers +oo, En*P(1) tend vers 0, et la somme tend vers l'intégrale voule...
- A vérifier tout de même car je ne me sers pas du caractère C2...
Je corrige une erreur :
en fait c'est :P(Sn + En)=P(somme (k=0..n-1, 1/n*f(k/n)*g(k/n))*1)
P(Sn + En)=P(somme (k=0..n-1, 1/n*f(k/n)*g(k/n))+En*1)
Considérons la mesure suivante :
où m est la mesure de Lebesgue et A est inclus dans [a,b].
On peut alors dire par Jensen que
et ainsi,
Ai-je fait un erreur ?
Je pense qu'il y a quand même plus simple que de passer par les mesures de lebesgue...
Ok moi jsuis juste en sup pas encore vu l'integrale de lebesgue , mais je pense que ce qu'a fait erf avec les sommes de rieman , c'est trop sophistique , y'aurai pas un autre moyen plus rapide , je dis ca car la question fait partit d'un probleme avec 20 questions.
ma solution avec la mesure de Lebesgue est sûrement dû au fait que je sors d'un cours de mesure
Dans ce cas, le seul moyen est d'utiliser le fait que P'' est positive...As tu parmi tes 20 questions une question qui concerne des inégalités entre des intégrales pour une fonction de dérivée seconde positive ???
Nan justement , le texte traite sur la notion d'entropie (d'ailleurs j'ai quelque questions qui me pose probleme), la question qui precede celle ci c'est de demontrer l'inegalite de jensen a partir de taylor.Mais a priori rien d'autre , donc ce que tu a fait serait donc convenable dans la suite du probleme , mais honnetement j'aurai jamais eu l'idee de passer par rieman , et comme je te l'ai dit (j'imagine que tu as quelque annees de sup) le texte est long , et donc je pense que le texte veuillent pas qu'on passe 2 heure sur la question.
- En fait, utiliser Riemann est assez intuitif et pas si long que ça, car on connait l'inégalité pour une somme, et on sait qu'une intégrale est une limite de somme...
Donc on flaire qu'il va y avoir un passage à la limite à faire pour qu'on puisse passer de l'inégalité "somme" à l'inégalité "intégrale"...(cf le raisonnement de physicien : la seule chose connue en sup pour relier une somme et une intégrale est Riemman...donc...).
- Mais je me dis que si ta fonction est C2, il doit y avoir un moyen peut etre plus court pr arriver à cela, car le caractère C2 n'est pas obligatoire, donc c'est censé être plus confortable à démontrer....mais je ne vois pas d'autre raisonnement pour l'instant
Ne te traquasse pas ,C2 etait utiliser pour une question precedente ou je devait etablir une inegalite a l'aide de l'inegalite de taylor lagrange a l'ordre 1.
Voila merci de m'avoir eclairer et de m'avoir repondu.
Salut,
Tout d'abord une remarque: L'inégalité de Jensen est vraie pour des mesures de proba, ie de masse totale 1. Dans le cas demandé d'ailleurs, on considère la mesure g(x) dx qui est par hypothèse, de masse totale =1, et c'est donc effectivement une instance de Jensen qui est demandée.
Cela dit, pas besoin d'un cours sur la théorie de la mesure pour écrire la preuve. Il suffi de remarquer qu'une fonction convexe est le sup des fonctions affines qui sont sous elle: C'est clair sur un dessin, mais sinon, on peut aussi l'écrire:
Après, il suffit d'écrire proprement cela, et on obtient facilement le résultat.
NB: On n'a pas besoin de conditions de régularité de P, mais de convexité !
NB2 : Je me souviens d'une preuve de proba où on ne peut pas considérer le sup sur un ensemble plus que dénombrable pour des raisons techniques (je me souviens plus trop de la preuve en question). Il y a donc un truc naturel à faire , c'est de prendre le sup ci dessus avec des (a,b) dans Q. Il paraît que c'est écrit comme ça dans tous les bouquins, mais tels quels c'est faux ! En effet, il ne faut pas oublier les fonctions affines à pente irrationnelles !
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rvz
