suite récurente

[invite3df1c846]

Bonjour!!

Je suis en pleine révision pour des partiels et en refaisant un DS, je me rends compte qu'il y a quelques questions sur les suites que je ne parviens pas à refaire!!! On nous avait refait vite fait la correction en amphi mais comme je pensais me souvenir de tout, j'ai rien noté... Un peu trop confiance en ma mémoire parfois...

Bref le problème est de démontrer, pour une suite récurente de premier terme U0=0 définie par la relation Un+1 = que :

- On a l'inégalité Un - 1

- Montrer que Un converge

On a déjà démontrer que Un

et aussi que le signe de - est l'opposé de celui de -

Voilà en priant pour que LaTeX marche parce que c'est ma première tentative... ^^

Merci à ceux qui pourront m'aider !!!
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[invite3df1c846]

oups!!!! le [\vert?] signifie (valeur absolue) !!!

[rajamia]

ou as tu bloqué exactement?

[invite3df1c846]

J'ai bloqué là où y a les deux tirets...

[A voir en vidéo sur Futura]

[rajamia]

ok

alors la première chose pour que tu montre l'inégalité la ou il y a la valeur absolue tu procède par récurrence,

pour la deuxieme remarque bien que tu as comme conberge ves 0 alors tu en deduit que Un tends aussi vers 0. voila

[invite62ffc9d0]

non! les termes de rangs pairs croissent de 0 à 1 et ceux de rangs impairs décroissent de rac(2) à 1 il faut donc lire: l Un-1 l<(2/3)^n

[invite1237a629]

Yeah, c'est pareil, à un près

(2/3)^n ou ^(n+1) tend vers 0 quand n tend vers l'infini (n ou n+1, ça n'a plus d'importance à l'infini ^^)

|Un| est toujours positif et est majoré par un truc qui tend vers 0. Donc |Un| tend vers 0.

Et donc (? pas sûre là ^^') Un tend vers 0.

[invite3df1c846]

Ok zut le seul endroit où il y avait à tout prix besoin de LaTeX j'en ai pas mit!!

admettons que / soit une valeur absolue ; on a :

/ - 1 /

Pour la démo par récurence de l'inégalité ci-dessus, dsl mais je ne pense pas, ou alors il faut m'aider pour le passage de à je vois vraiment pas comment faire !!!

En fait je me souviens vaguement que notre prof, lors de la correction, avait mit tous les Un en colonne (de n+1 à 0) et qu'il en avait tiré une inégalité, mais la manière par laquelle il avait procédé...c'est le trou noir!!!

[invite3df1c846]

re-zut on le voit encore moins bien là j'aurais tout dû mettre en latex!!

En gros il faut lire pour la partie de gauche
/ (Un) - 1 /

[invite1237a629]

Si tu veux, tu peux écrire que

Tu veux montrer que Un converge quand n tend vers l'infini...
Or, quand n tend vers l'infini, |Un| est majoré par quelque chose qui tend vers 0.

[invite3df1c846]

/ /

Vraiment du mal à écrire ça, donc je vais le faire passer avec des mots ^^

Le -1 n'est pas en indice, la suite tend vers 1, ça je m'en suis aperçu, le but est de démontrer la relation :

/ /

avec les rares données que j'ai put balancer sans organisation aucune au début ^^

On m'a proposé de démontrer la relation par récurence, ce que j'avais pensé à faire au début, mais je me suis vite aperçu que je bloquais!! J' ai le souvenir que notre prof ne l'avait pas démontré par récurence mais en alignant tous les termes en colonne, en les minorant, puis en bidouillant un peu l'inégalité pour arriver au résultat!!

Mais après s'il existe une autre technique, je suis ouvert !!!

[inviteaf1870ed]

Voici ce que je propose : tu élèves l'égalité qui définit la suite au carré,
tu trouves U²n+1=2-Un, donc U²n+1 - 1 = 1-Un, donc (Un+1 + 1)(Un+1 - 1)=1-Un
On pose Vn=Un-1, l'égalité devient Vn+1*(Un+1 + 1)=-Vn
Donc |Vn+1/Vn|=1/(Un+1 + 1) On peut majorer ce rapport par 2/3 en utilisant l'encadrement de Un.
On en déduit l'inégalité cherchée

[invite3df1c846]

D'accord ben j'aurais jamais pensé à ça mais effectivement ça marche plutôt pas mal faut avouer ^^.

Merci bien de l'aide c'est cool comme technique, plutôt rapide en plus, la correction du prof était beaucoup plus longue!!

Merci beaucoup
Bon week-end à vous!!