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Equation nombres complexes



  1. #1
    antagonus49

    Equation nombres complexes


    ------

    Voilà j'ai une équation que je n'arrive pas à résoudre, pourriez vous m'aider?
    Il sagit de z²=-8-4i

    J'ai trouvé |z|=√80

    z²=80e2iθ
    z²=80 (cos(2θ) + isin(2θ))
    z²=-8-4i

    cos (2θ) + isin (2θ) = (-2-i)/20

    cos (2θ)=-1/20
    sin (2θ)=-1/10

    je trouve pas le θ pour l'appliquer sur z=re2iθ

    Voili voilou j'espére que vous pourrez m'aider.

    -----

  2. #2
    indian58

    Re : équation nombres complexes

    Plutôt que de passer par la forme exponentielle, pose z=x+iy, et sépare les parties réelles et imaginaires de ton équation.

  3. #3
    antagonus49

    Re : équation nombres complexes

    Qu'est ce que tu veux dire par séparer la partie réelle et imaginaire, je ne connais pas bocoups de méthode, je débute dans les nombres complexes.

    Parceque je veux bien faire z²+8=-4i mais je ne vois pas ou cela m'amène.

  4. #4
    indian58

    Re : équation nombres complexes

    Non, tu poses z=x+i*y, tu injectes dans l'équation et ensuite tu sépares les parties réelles et imaginaires pour obtenir deux équations.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gentelman_net

    Re : équation nombres complexes

    je pense que la methode que Idian58 propose est la plus sûre et d'aprés les calcules que j'ai fait j'ai eu
    x=2*racine(5)-4
    y=-(2+racine(5))
    verifie les calcules j'ai pas eu le temps de les verifier

  7. #6
    antagonus49

    Re : équation nombres complexes

    ok, j'vais essayer comme ca, j'vais voir! merci beaucoups.

  8. #7
    blou92

    Re : équation nombres complexes

    bonjour,
    Attention, Gentleman_net, on a oublié la racine carrée!
    En général la forme exponentielle est la plus commode mais faut-il encore connaitre un argument de z² sinon les résultats risquent d'être ambigüs.
    Ici, j'avoue que la "méthode" d'Indian58 est plus adaptée mais il ya un "plus" non négligeable: l z² l = lzl²=x²+y²=4rac(5) et x²-y²=-8 donne directement x²=2rac(5)-4>0 et y²=2rac(5)+4 puis avec xy<0 on a 2 couples solutions (x,y). A finir!
    ou z= -6+2rac(11).

  9. #8
    blou92

    Re : équation nombres complexes

    Ne pas tenir compte de la dernière ligne: z=-6+2rac(11) qui est fausse!

  10. #9
    gentelman_net

    Re : équation nombres complexes

    oui t'as raison

  11. #10
    breukin

    Re : équation nombres complexes

    Moi, je trouve que ta méthode était très bonne.
    Sauf qu'il ne s'agit pas de trouver θ, il s'agit de trouver cos θ et sin θ, connaissant cos 2θ et sin 2θ.
    Or cos 2θ = 2.cos2θ–1

    Toutefois, tu as fait une erreur sur |z|. Pour t'en convaincre, calcule cos22θ+sin22θ avec les valeurs que tu as trouvées...

  12. #11
    indian58

    Re : équation nombres complexes

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    Moi, je trouve que ta méthode était très bonne.
    Sauf qu'il ne s'agit pas de trouver θ, il s'agit de trouver cos θ et sin θ, connaissant cos 2θ et sin 2θ.
    Or cos 2θ = 2.cos2θ–1

    Toutefois, tu as fait une erreur sur |z|. Pour t'en convaincre, calcule cos22θ+sin22θ avec les valeurs que tu as trouvées...
    Ouais, sa méthode fonctionne aussi mais reste alors sous la forme exponentielle :

  13. #12
    breukin

    Re : équation nombres complexes

    Non, ça ne reste pas sous forme exponentielle. Mais il est vrai que poser z=x+i.y est plus rapide.

    z = r.eiθ
    z2 = r2.e2iθ = –8–4i
    r2 = |–8–4i| = √80 = 4√5
    r = 2√√5 (donc attention à la grosse étourderie !)
    e2iθ = cos 2θ + i.sin 2θ = –2/√5–i/√5
    cos 2θ = –2/√5
    sin 2θ = –1/√5
    Pour une des racines, 2θ dans (–π,–π/2), donc θ dans (–π/2,0)
    2.cos2θ–1 = –2/√5
    cos θ = √(50–20√5)/10
    sin θ = –√(50+20√5)/10
    x = 2√√5.√(50–20√5)/10 = √(50√5–100)/5 = √(2√5–4)
    y = –2√√5.√(50+20√5)/10 = –√(50√5+100)/5 = –√(2√5+4)

  14. #13
    antagonus49

    Re : équation nombres complexes

    Pour trouver |z| il faut faire un système je suppose.

    corrigez moi si ce n'est pas ca:
    z²=-8-4i z² = Z (x+iy)² = a+ib x²-y²+2xyi = a+bi
    |z|² = |Z| x²+y² = √(a²+b²) x²+y² = √(a²+b²)

    x²-y²=a x²-y²=-8 x²-y²=-8
    2xy=b 2xy=-4 2xy=-4
    x²+y²=√(a²+b²) x²+y²=√((-8)²+(-4)²) x²+y²=√80

    " " x²=-8+(√80-x²) x²=(-8+√80)/2=-4+4√5
    " " " " " "
    y²=√80-x² " " " "


    |z|=x²+y²= -4+4√5 + √80+4-4√5


    Mais ca me fait retomber sur |z|= √80 donc j'suis un peu perdu là.

  15. #14
    antagonus49

    Re : équation nombres complexes

    desolé j'ai pas eu le temps d'éditer, donc ca c'est écrit un peu n'iporte comment.

  16. #15
    breukin

    Re : équation nombres complexes

    Pour trouver |z|, il faut le calculer :
    |z2| = |–8–4i| = √80 = 4√5
    Donc |z| = 2√√5
    Vous aviez fait une grossière erreur d'étourderie.
    Et tous vos problèmes viennent de là.

  17. #16
    antagonus49

    Re : Equation nombres complexes

    C'est bon pour moi le resultat que tu as trouvé breukin, j'ai refait les calcul et je trouve le même résultat! merci beaucoups tu m'as été d'une grande aide.

  18. #17
    blou92

    Smile Re : équation nombres complexes

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    Non, ça ne reste pas sous forme exponentielle. Mais il est vrai que poser z=x+i.y est plus rapide.

    z = r.eiθ
    z2 = r2.e2iθ = –8–4i
    r2 = |–8–4i| = √80 = 4√5
    r = 2√√5 (donc attention à la grosse étourderie !)
    e2iθ = cos 2θ + i.sin 2θ = –2/√5–i/√5
    cos 2θ = –2/√5
    sin 2θ = –1/√5
    Pour une des racines, 2θ dans (–π,–π/2), donc θ dans (–π/2,0)
    2.cos2θ–1 = –2/√5
    cos θ = √(50–20√5)/10
    sin θ = –√(50+20√5)/10
    x = 2√√5.√(50–20√5)/10 = √(50√5–100)/5 = √(2√5–4)
    y = –2√√5.√(50+20√5)/10 = –√(50√5+100)/5 = –√(2√5+4)
    bonjour,
    OK, mais pourquoi faire compliqué: c'est une question d'équation et pas d'écriture z=x+iy suffit (pas besoin de téta). Je rappelle les résultats établis en UNE ligne: x²+y²=4rac(5) ; x²-y²=-8 ( lyl>lxl) ; xy<0 : x,y à signes contraires) puis on conclue en UNE ligne également!
    Mes amitiés

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