Bonjour,
Voici une question que je me suis posée et à laquelle je ne sais pas trop répondre:
Soient E, F deux espaces vectoriels normés.
Soit f: E -> F continue
La restriction de f à la partie de E {x app E, ||x|| = a} est-elle continue ?
Il me semble qu'il faudrait démontrer: {x app E, ||x|| = a} est un lacet de E ou tout au moins un arc de E ?
(app veut dire appartient à)
Merci pour ceux qui peuvent m'aider et pardon si cette question n'est pas pertinente...
Je dirais ouiEnvoyé par FAN FAN
Je pense que la réponse est oui car la continuité sur E est la continuité sur tous les points de E donc en particulier sur {x app E, ||x|| = a}.
Donc ce n'est pas une question très pertinente, mille excuses.
En revanche, {x app E, ||x|| = a} est-il bien un lacet de E ?
Si je ne me trompe, oui : tu prends A et B deux points distincts dans E et tu considères l'application f :[0,1]->E définie par f(t)=a/||t(B-A)+A||*(t(B-A)+A)
Un lacet n'est pas un sous-espace mais une application du cercle dans un espace. Maintenant si tu te demandes si ce sous-espace est connexe par arcs alors oui (l'application f d'indian58 convient si B n'est pas l'opposé diamétral de A, pour le cas où il en est ainsi il suffit de prendre un point C relier A à C puis C à B) pour E espace vectoriel réel tel que dim(E)>1.
Merci pour ta réponse, homotopie.
