Norme et suite

[invitebb921944]

Bonjour.
J'ai un petit souci !!
On considère l'espace des suites complexes de carré sommable, muni du produit scalaire :


On note l'application linéaire définie par :
, pour et

Je dois vérifier que A est une application linéaire bornée et estimer sa norme...
En fait ce qui me gêne, c'est le fait que ce soit une suite.
Dois-je écrire :


?????
Parce que si c'est ça, je ne vois pas du tout comment continuer...

Merci d'avance !
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[inviteaf1870ed]

Si la suite est de carré sommable, tu as la solution : |Acn|<=2|cn|+|cn+1|+|cn-1|

[invitebb921944]

Merci pour ta réponse mais en fait j'ai déjà écrit ça et après, je dois développer le membre de droite mis au carré et minorer la norme de A en utilisant cela, bah ca me semble relativement dificile...

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Pour minorer, pense à regarder la suite (-1)^n. Elle correspond au cas d'égalité dans l'inégalité donnée par ericcc. Elle est pas dans le bon espace donc il faut faire un petit raisonnement pour pouvoir conclure.

A la fin, sauf erreur, on trouve 16, c'est ça ?
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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Pour minorer, pense à regarder la suite (-1)^n. Elle correspond au cas d'égalité dans l'inégalité donnée par ericcc. Elle est pas dans le bon espace donc il faut faire un petit raisonnement pour pouvoir conclure.

A la fin, sauf erreur, on trouve 16, c'est ça ?

Je suis désolé je comprends rien...
Ok (-1)^n correspond à l'égalité dans l'inégalité donnée par ericc mais je ne vois pas à quoi ca sert, je ne vois pas comment m'y prendre....
Si quelqu'un pouvait me donner la solution (mon exam c'est demain) ce serait très gentil.
Bonne soirée

Merci pour votre aide

[invitebb921944]

Au passage je n'ai toujours pas réussi à majorer la norme de A non plus, le carré sur la valeur absolue me donne un truc énorme qui ne se simplifie guère lorsque je développe

[invite57a1e779]

Au passage je n'ai toujours pas réussi à majorer la norme de A non plus, le carré sur la valeur absolue me donne un truc énorme qui ne se simplifie guère lorsque je développe

Dans , muni du produit hermitien canonique, je considère les vecteurs

et

leur produit scalaire est

et l'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit immédiatment



ce qui permet une première majoration de la norme.

Ensuite, tu fixes l'entier p, et tu considères la suite définie par

si et si sinon.

Le calcul de devrait aussi te donner une minoration de la norme.

[invitebb921944]

Merci beaucoup

[invite35452583]

Il manque un carré à gauche ou une racine à droite, non ?
"Estimer" signifie-t-il calculer ? Si oui le travail est bien commencé mais pas achevé car l'encadrement est pour l'instant 16<=llAll²<=18.

Je pense que ceci montre que llAll=4.
Pour un élément c de l₂(Z), on considère la projection c_(p) avec (c_(p)n=c_n pour lnl<=p et 0 pour lnl>0). Et on considère l'endomorphisme défini sur les suites à support dans [l-p,pl] de matrice :

Cette matrice est symétrique et hermitienne, je te laisse te rappeler ou montrer que ceci implique que llA_(p)ll₂<=plus grande valeur propre (conséquence de l'orthogonalité).
Maintenant, on peut montrer que la plus grande valeur propre<=max de la somme des valeurs absolues des termes d'une ligne de A_(p)=l2l+l-1l+l-1l=4.
Il n'y a plus qu'à faire tendre p vers +infini.