Besoin d'aide pour une petite question

[invite9964ce37]

je pense que cela doit être évident, mais je bloque sur cette question:

Montrer que f(x)=ln (1+x)/x a un prolongement par continuité en 0 et étudier la dérivabilité en 0 de celui-ci.

j'ai d'abord pensé à étudier la limite en 0 de f', mais je bloque vite...
puis j'ai pensé à étudier un DL à l'ordre 1 de f en 0 ce qui assurerait de sa continuité en 0, mais là comble de l'embarras, je n'y arrive pas alors que ca doit pas être très compliqué....

merci de m'aider, un préparationnel qui voit ses ccrs arrivés trop
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[invite57a1e779]

puis j'ai pensé à étudier un DL à l'ordre 1 de f en 0 ce qui assurerait de sa continuité en 0, mais là comble de l'embarras, je n'y arrive pas alors que ca doit pas être très compliqué...

Au voisinage de 0 : ...

[invite9964ce37]

Au voisinage de 0 : ...

oui mais c'est ln(1+x)/x...
dans ce cas ln(1+x)/x = 1 - x/2 + o(x)??? j'ai un gros doute

[invite57a1e779]

oui mais c'est ln(1+x)/x...
dans ce cas ln(1+x)/x = 1 - x/2 + o(x)??? j'ai un gros doute

Oui !!!
C'est si difficile que ça de diviser par x ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9964ce37]

ok je pars en exile en Island, j'ai trop honte....
je viens de capter que je m'étais fait une idée nébuleuse sur les DL alors que c'est tout simple...

merci beaucoup, je ne dérangerais plus pour des questions aussi stupides, mais mine de rien ca m'a beaucoup aidé

[invitec053041c]

ok je pars en exile en Island, j'ai trop honte....
je viens de capter que je m'étais fait une idée nébuleuse sur les DL alors que c'est tout simple...

merci beaucoup, je ne dérangerais plus pour des questions aussi stupides, mais mine de rien ca m'a beaucoup aidé

Sache que l'existence ou non d'un DL jusqu'à l'ordre 1 permet de conclure sur :f continue ou pas, dérivable ou pas.
Mais on ne peut pas conclure aux ordres supérieurs, ce sont les 2 seuls cas qui fonctionnent (il existe des fonctions qui admettent un DL à l'ordre 2 sans être deux fois dérivables).

[invite6b1e2c2e]

Sache que l'existence ou non d'un DL jusqu'à l'ordre 1 permet de conclure sur :f continue ou pas, dérivable ou pas.
Mais on ne peut pas conclure aux ordres supérieurs, ce sont les 2 seuls cas qui fonctionnent (il existe des fonctions qui admettent un DL à l'ordre 2 sans être deux fois dérivables).

Un autre truc qui peut être bien pratique pour ce genre d'exo, c'est de se souvenir de la formule

dont on peut facilement déduire ici que la fonction ln(1+x)/x est C^infini.

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rvz