L'intégrale pour les nulls

[invite52d5d0f1]

Bonjour, j'ai un petit problème avec le calcul de l'intégrale de la fonction ln(x)-ln² (x) ... Cela paraîtra certainement très basique pour vous : en fait je n'arrive pas à obtenir la primitive de cette dernière fonction ! Le sauriez-vous ?
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[invite4793db90]

Salut,

je crois que ça doit pouvoir s'intégrer par partie en posant u'(x)=ln(x) et v(x)=1-ln(x) en se souvenant qu'une primitive de ln(x) est xln(x)-x.

[invitea77054e9]

Salut Lorked

En espérant que ça t'aide!

Pour une primitive de ln(x), une intégration par partie est utile:
si on note S{f(x)} la primitive de f(x) on obtient:

S{ln(x)}=[x*ln(x)]-S{1}=x*ln(x)-x

Pour une primitve de ln²(x), on utilise le changement de variable:
ln(x)=u
soit S{ln²(x)}=S{exp(u)*u²}
Une intégration par partie nous amène à la solution recherchée, et finalement:
S{exp(u)*u²)}=u²*exp(u)-2*u*exp(u)+2*exp(u)

On substitue u à ln(x) ce qui permet de conclure:
S{ln²(x)}=x*(ln²(x)-2*ln(x)+2)

Finalement S{ln(x)-ln²(x)}=3*x*ln(x)-3*x-x*ln²(x)

[invitea8961440]

Et qu'aurais dit Evariste Galois lui-meme !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea77054e9]

IL m'aurait sans doute "jeté le chiffon à effacer la craie à la tête devant la stupidité de la question posée."