[Exercice pour vous amuser] Variétés et idéaux de polynômes

[invite9c9b9968]

Bonjour à tous,

Voici un petit exemple sympathique (et pas difficile) pour vous faire réfléchir sur la notion d'idéal.

Soit un corps quelconque que l'on va prendre commutatif. Soit le corps des polynômes à n variables sur le corps .

On définit une variété V de ainsi :

pour I idéal de G, on définit

Questions :

1/ Montrer que si I,J sont deux idéaux de G, est un idéal de G (facile)

2/ On définit ; montrer que

(facile)

3/ Montrer que
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[invite2c3ff3cc]

C'est gentil de penser à nous

Une remarque tout de suite V est décroissante dans le sens que si alors


1/ trop facile

2/ IJ est contenu dans I et dans J dans par décroissante V(IJ) contient V(I) et V(J) donc leur union.

L'autre sens est plus 'stucieux.

Soit . Supposons que et montrons que .
Il y a donc un tq .
Soit , alors (car ce sont des idéaux) ie PQ(x) = 0 et donc Q(x) = 0 (corps = intègre) et

3/ Pareil il y a une inclusion facile.
L'autre : soit.
Si et on peut trouver P dans I et Q dans J tq ni P ni Q ne s'annule en x. Le pb c'est que car I et J sont des idéaux. Contradiction et x est forcément dans V(I) ou dans V(J).

[invite2c3ff3cc]

Pourquoi on peut plus modifier après 5 minutes ? J'aurais bien aimé corriger un peu de Latex et quelques fautes d'orthographe

[invite35452583]

Pourquoi s'arrêter en si bon chemin et ne pas demander le lien entre et ?
Demander si V(I) est vide ou non dans le cas où k=C et i un idéal propre serait un peu poussé par contre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c3ff3cc]

V(I) non vide quand n=1 et K=C je veux bien le faire

[invite35452583]

Par rapport à I et à J, I+J est un idéal plus grand (en arithmétique c'est celui du pgcd), IJ un idéal plus petit (en arithmétique, c'est celui du ppcm) donc V(I+J)=V(IJ), ce n'est pas souvent vrai.
Ceci dit moi aussi j'ai fait un erreur dans le latex (et en relecture), la vraie question est "que dire de ?"

V(I) non vide quand n=1 et K=C je veux bien le faire

C'est déjà ça. De toute façon, je ne crois pas que j'arriverai à montrer que pour n quelconque que V(I) est non vide sans un peu de révision.