Merci pour toutes ces précisions.
En ce qui concerne le noyau d'une forme linéaire discontinue, j'ai bien noté qu'il était dense et "poreux" dans l'e v E. C'est assez contre-intuitif: étant de codimension 1 (hyperplan), j'ai du mal à me le représenter notamment que toute boule de E intersecte cet hyperplan. Je me représente plutôt un hyperplan comme "une surface" qui "sépare" E en deux 1/2 espaces. Ces propriétés propres à la dimension infinie sont difficiles à imager !

Une autre question (si je n'abuse pas !):
Dans un espace métrique non compact, les parties bornées contiennent bien les parties précompactes ?
Je n'arrive à trouver une démonstration correcte mais j'ai la conviction que c'est vrai...