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Parties d'un Compact



  1. #1
    FAN FAN

    Parties d'un Compact


    ------

    Bonjour,
    Quelqu'un pourrait-il répondre ?
    Soit E espace métrique compact
    - 1. Toutes les parties de E sont-elles bornées ?
    - 2. Les parties bornées de E sont-elles aussi les parties précompactes de E ?
    Si 1 et 2 sont justes, alors toutes les parties de E sont précompactes.

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : Parties d'un Compact

    1) est évident (E est borné).
    Toutes les parties d'un compact sont précompactes.
    En effet soit X un sous-espace d'un compact métrique (K,d).
    On recouvre K ainsi : on prend d'abord toutes les boules ouvertes de rayon e>0 centrées en les points de X. Puis, on prend les boules ouvertes de même rayon e centrées en les points (et uniquement en ceux là) de K qui ne sont pas dans l'union des 1ères boules (s'il y en a).
    A remarquer que les 2ndes boules ne contiennent aucun point de X (symétrie de la distance).
    On extrait un recouvrement fini, les boules non centrées en des points de X n'ont aucun point de X on peut les oublier. Les autres sont centrées en des points de X et leur union contiennent tous les points de X. Leurs retrictions à X conviennent.

  3. #3
    FAN FAN

    Re : Parties d'un Compact

    Merci Homotopie pour ces précisions. Le 1. était bien sûr evident.

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