Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il répondre ?
Soit E espace métrique compact
- 1. Toutes les parties de E sont-elles bornées ?
- 2. Les parties bornées de E sont-elles aussi les parties précompactes de E ?
Si 1 et 2 sont justes, alors toutes les parties de E sont précompactes.
1) est évident (E est borné).
Toutes les parties d'un compact sont précompactes.
En effet soit X un sous-espace d'un compact métrique (K,d).
On recouvre K ainsi : on prend d'abord toutes les boules ouvertes de rayon e>0 centrées en les points de X. Puis, on prend les boules ouvertes de même rayon e centrées en les points (et uniquement en ceux là) de K qui ne sont pas dans l'union des 1ères boules (s'il y en a).
A remarquer que les 2ndes boules ne contiennent aucun point de X (symétrie de la distance).
On extrait un recouvrement fini, les boules non centrées en des points de X n'ont aucun point de X on peut les oublier. Les autres sont centrées en des points de X et leur union contiennent tous les points de X. Leurs retrictions à X conviennent.
Merci Homotopie pour ces précisions. Le 1. était bien sûr evident.
