Parties libres d'un vectoriel

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai un vectoriel V et W1,W2 deux sous vectoriels.
Je prends une base de W₁W₂que je prolonge en une base A de W₁ et en une base B de W₂

Puis-je encore supposer que AUB est une partie libre de V ? Je suis sûr que c'est idiot mais je n'arrive pas à prouver que c'est vrai ou que c'est faux ...

merci
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[invite9cf21bce]

Bonjour,

Si j'ai un vectoriel V et W1,W2 deux sous vectoriels.
Je prends une base de W₁W₂que je prolonge en une base A de W₁ et en une base B de W₂

Puis-je encore supposer que AUB est une partie libre de V ? Je suis sûr que c'est idiot mais je n'arrive pas à prouver que c'est vrai ou que c'est faux ...

merci

Salut.

Oui, c'est une base de W₁+W₂ (mais bien sûr, il ne faut compter qu'une fois les vecteurs de la base de W₁W₂).

On part de 0 = CL(B)+CL(B₁)+CL(B₂),

où B est la base de W₁W₂, B₁ est le complément à une base de W₁ et B₂ le complément à une base de W₂, et CL(%) désigne une combinaison linéaire de %.

Alors CL(B₂) est dans W₂, mais aussi dans W₁ puisque c'est égal à -CL(B)-CL(B₁). Donc CL(B₂) est une combinaison de B. Comme BB₂ est libre, CL(B₂)=0.
De même, CL(B₁)=0, puis CL(B)=0. On conclut par liberté de B, B₁ et B₂.

Taar.

[Bleyblue]

Oui bien vu je me disais aussi que ça devait être une chose dans ce gout la

merci !