Intégrale généralisée banale mais casse tête..

[invitece161d7f]

Bonjour,
Dans un exercice il fallait se servir de cette intégrale qui nous était donnée et ou il fallait admettre sa valeur sans démonstration.



Sur le coup j'étais assez surpris parce qu'on nous fait étudier sa convergence qui est presque évidente avec l'exponentielle, mais on nous donne la valeur, donc je me suis dit que ça ne devait pas etre assez dur et qu'ils auraient pu nous demander de la calculer au lieu de la donner...
Alors je me dit pourquoi ne pas la calculer pour voir.. et comme vous vous en doutez je me suis cassé les dents dessus.. par aucun moyen ni changement de variable je n'arrive à obtenir le résultat.. je pense que ça ne doit pas être évident pour y arriver.
Ce qui me surprends encore plus c'est la valeur.. c'est incroyable ce que ça donne ^^

Bref je fait appel à vous, qqun aurait-il une petite idée ou des pistes? ou bien est-ce vraiment pas de mon niveau?

merci d'avance
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[Gwyddon]

Hello,

Bon je te donne le truc technique, après pour les justifications il y a du théorème de Fubini derrière et j'ai la flemme^^

Tu passes dans le plan :





Là on passe en coordonnées polaires :



et on calcule tout gentiment



Tu prend la racine (en t'assurant bien que l'intégrale de départ est positive... )

et donc

[invite1237a629]

Plop,

J'ai trouvé deux méthodes (peut-être trois...)

Une d'entre elles consiste à montrer que :







En déduire en utilisant les intégrales de Wallis.

Je crois que la démonstration fait deux pages chez moi

Il y en a une plus courte, mais plus longue à taper et...je mettrai plus tard si ça t'intéresse ^^

[invitece161d7f]

bonjour,

tout d'abord merci beaucoup pour vos réponses!!

sinon je ne n'ai pas vu encore le théorème de fubini, enfin si mais pas celui-ci ..
En tout cas je suis étonné de savoir qu'il existe un tel théorème (puissant!!) qui permet de multiplier les intégrales et de les arranger de la sorte..

Et pour la deuxième démonstration pas mal aussi, mais c'est pas évident l'encadrement..

En tout cas merci encore, et si possible j'aimerai bien voir d'autre démo si vous en avez, merci!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

bonjour,

tout d'abord merci beaucoup pour vos réponses!!

sinon je ne n'ai pas vu encore le théorème de fubini, enfin si mais pas celui-ci ..
En tout cas je suis étonné de savoir qu'il existe un tel théorème (puissant!!) qui permet de multiplier les intégrales et de les arranger de la sorte..

Et pour la deuxième démonstration pas mal aussi, mais c'est pas évident l'encadrement..

En tout cas merci encore, et si possible j'aimerai bien voir d'autre démo si vous en avez, merci!!

On pose , donc et .

On pose . On calcule et on montre que est de limite nulle en l'infini.

On montre que l'on peut dériver sous l'intégrale :

et on intégre : .

De là l'intégrale voulue en passant à la limite en l'infini.

[acx01b]

salut

http://www.math.jussieu.fr/~beck/mt252_2.pdf

exercice 4, e)