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nombres de fibonacci



  1. #1
    Brumaire

    nombres de fibonacci


    ------

    Bonjour,

    On a une suite fibonacci qui est définie de la facon suivante:

    fib (0) = 0
    fib (1) = 1
    fib (n) = fib (n-2) + fib (n-1)

    Je voudrais montrer par récurrence que

    fib (n) = ( P^n - Y^n)/ racine carrée de 5

    avec P = (1 + racine carrée de 5)/2 et Y= (1 - racine carrée de 5)/2

    Je me demande s'il ne faut pas prendre deux hypothèses de récurence
    (formule vérifiée pour n et pour n-1)

    Qu'en pensez-vous?

    -----

  2. #2
    Oakenshield

    Arrow Re : nombres de fibonacci

    Bonsoir,

    la méthode que tu proposes doit certainement fonctionner, moyennant quelques calculs... En plus, d'après l'expression générale de fib(n) que tu te proposes de démontrer, on peut aisément évaluer la limite de la suite de terme général fib(n+1)/fib(n)... c'est P, plus connu sous le nom de phi, le nombre d'or !

    Bons calculs !

  3. #3
    Brumaire

    Re : nombres de fibonacci

    J'ai réussi à faire la démonstration (du moins je crois).

    J'ai calculé ( P^(n+1) - Y^(n+1))/ racine carrée de 5 et je suis parvenue à Fib (n) + Fib (n-1)= Fib (n+1)
    Il faut remarquer aussi que P + Y = 1 et que P*Y= -1
    Et après on fait des "tours de passe-passe".

    Je cherche maintenant à démontrer que Fib (n) est l'entier naturel le plus proche de P^n/ racine carrée de 5

    Je ne vois pas comment procéder. J'ai simplement remarquer que
    Fib (n) - P^n/ racine carrée de 5 devait être très proche de 0 pour que ca marche. Faut-il faire encore une récurrence?

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