Bonjour, j'ai la question suivante qui me trotte dans la tête depuis un petit moment et je sèche lamentablement dessus. Si on se donne trois anneaux $A$, $B$ et $C$, de sorte que $A$ soit un idéal de $B$ et $B$ un idéal de $C$, est-il possible que $A$ ne soit pas un idéal de $C$ ? Et si oui, quelles hypothèses rajouter à ces anneaux pour que cela soit vrai ?
Si vous avez ne serait-ce que des indications, merci d'avance pour vos réponses !
Des sous-anneaux (unitaires) qui sont aussi des idéaux d'un anneau (unitaire) je crois qu'il n'y en a pas des kilos.Envoyé par kadomatsu
Si on impose pas aux anneaux d'être unitaires (sinon la remarque de ThSQ s'applique) alors c'est possible de trouver A, B et C mais ce n'est déjà pas évident d'en trouver un contre-exemple.
Celui-ci me semble fonctionner :
On part de R(X,Y), on peut écrire un élément de ce corps a=P(X,Y)/Q(X,Y). On pose degX(a)=degX(P)-degX(Q) pour a non nul degX(0)=, c'est compatible aux classes d'équivalence.
On a degX(a.b)=degX(a).degX(b) et degX(a,b)<=max(degX(a),degX(b)).
On pose A={a ; degX(a)<=0} c'est un sous-anneau d'après les propriétés rappelées des degrés.
B={b ; degX(b)<0} en est un idéal d'après ces mêmes propriétés.
Maintenant, on pose C={c ; degX(c)<-1 ou degX(c)=-1 et c=(A(Y)Xm+..termes en Y(<m))/(B(Y)Xn+...termes en Y(<n)), degX(A/B)>=0}
Seule la somme de deux termes de C de degX=-1 n'est pas immédiat, mais soit on obtient pour le terme de plus haut degré en Y pour le numérateur et le dénominateur la somme de deux polynômes en X de deg<=0 donc de deg<=0 non nul et alors la somme vérifie la seconde condition pour être dans C, soit cette somme s'annule mais alors la somme vérifie la 1ère condition.
Les éléments de B.C sont dans C car de degré<=-2.
Mais A.C n'est pas inclus dans C car 1/Y est dans C, X est dans A mais X/Y n'est pas dans C.
PS : sur ce forum pour utiliser Tex il faut utiliser la balise du même nom et non utiliser les "$".
Merci pour ta réponse homotopie, je vais la regarder de plus près. A un moment j'avais bien pensé utiliser une extension à deux variables mais je n'étais guère arrivé plus loin. D'où ma deuxième question : peut-on rajouter de "bonnes" propriétés à ces anneaux pour qu'un tel contre-exemple n'existe pas ?
Unitaire par exemple.
Oui et c'est la plus difficile qui comprend d'ailleurs deux volets :
1) à quelle condition sur l'idéal C de B pour tout anneau A dont B est un idéal C en est un aussi, le similaire de sous-groupes caractéristiques en gros. B=Z convient (m) est envoyé dans lui-même car pour un élément de A : a(m+...+m)=a.m+...+a.m=m.am d'une part et d'autre part a(m+...+m)=a.m²=(am)² donc am=0 ou m. Je pense qu'on peut aussi le montrer pour k[X], k corps. alors comme condition "principal" ? Je ne vois malheureusement a priori ni la nécessité ni la suffisance.
2) à quelle condition sur A, un tel couple (B,C) ne peut exister et là j'ai encore moins d'idée.
Certes ThSQ, mais c'est bien trop facile dans ce cas ; je pensais à quelque chose d'un peu plus "évolué". Bien que cela m'embête de sécher, cela me réconforte aussi un peu de voir que la réponse n'est pas triviale ! En tout cas merci pour tes idées homotopie.
