Petite Histoire de série

[invite4ef352d8]

Bonsoir !


je bloque sur une petite chose depuis une bonne demi heur et je pense que je passe surement à coté de qqch de tres simple ...

j'ai une suite complexe an telle que la série des an/n converge (pas forcement absoluement), et j'aimerai conclure que "somme de k =1 a n de ak = o(n)"

enfait je crois (mais j'en suis absoluement pas sur) que c'est faux en géneral mais vrai si la somme des an/n converge absoluement. mais je n'arrive ni à le prouver, ni à donner de contre exemple

merci ^^
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[invite35452583]

Bonjour,
tu as du mal rédiger ton problème car écrit ainsi c'est trivialement faux.
Pour a_n=1/n on a bien la somme des a_n/n converge absolument mais somme des a_n diverge donc loin d'être un o(n).
On peut se poser la question si somme des a_n/n est un o(n) alors somme des a_n converge-t-elle ?

[invite4ef352d8]

Euh ... par Un=o(n) j'entend que Un/n ->0 hein .

la somme des 1/k est équivalente a ln n, c'est donc un o(n).

[acx01b]

salut

a(n) = n^(-0.0000001)
la série des a(n)/n converge
somme des a(k) équivalent à (n^0.9999999)/-0.00000001
oui effectivement ça a l'air de marcher

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Euh ... par Un=o(n) j'entend que Un/n ->0 hein .

la somme des 1/k est équivalente a ln n, c'est donc un o(n).

Oui, désolé.

On a ceci la série de terme a_n/n converge absolument, soit e>0 il existe N tel que
On peut alors couper la somme peut être découpée en deux morceaux :
La seconde est majorée
Pour la 1ère on pose
D'où
Donc pour m suffisamment grand (a₁+...+a_m)/m <2e et la somme des a_n est bien un o(n).

Donc plutôt option : "je pense que je passe surement à coté de qqch de tres simple"

[acx01b]

pour les séries non Absoluments convergentes

est-ce que la somme des

e^(i.n).n^(0.9999999) est o(n) ???

parce la série des e^(i.n).n^(-0.0000001) converge d'après le théorème d'abel

[invite4ef352d8]

hum oui en effet Homotopie, un classique de taupe, j'ai du passer trop de temps à chercher qqch pour les série semi-convergente que j'ai pas vu ca ^^


pour acx01b, je dirait (sans preuve) qu'on doit avoir somme des exp(in).n^a =O(n^a), juste parceque c'est pas tres différent de (-1)^n.n^a donc que c'est pas par la qu'on trouvera un contre exemple ^^

enfin ceci dit c'est peut-être vrai quand même pour les séries semi-convergente... mais la démonstration d'Homotopie ne ce généralise pas

[invite57a1e779]

hum oui en effet Homotopie, un classique de taupe, j'ai du passer trop de temps à chercher qqch pour les série semi-convergente que j'ai pas vu ca ^^


pour acx01b, je dirait (sans preuve) qu'on doit avoir somme des exp(in).n^a =O(n^a), juste parceque c'est pas tres différent de (-1)^n.n^a donc que c'est pas par la qu'on trouvera un contre exemple ^^

enfin ceci dit c'est peut-être vrai quand même pour les séries semi-convergente... mais la démonstration d'Homotopie ne ce généralise pas

Soit , avec . On a, pour tout , , donc .

Par suite et . comme converge, le théorème de Cesaro permet de conclure que est de limite nulle.

[invite4ef352d8]

Ah ! Merci beaucoup God's breath, je connaissait pas cette astuce. c'est tres joli ^^

[invite9c9b9968]

Le théorème de Cezarò est fort utile, surtout pour certaines démos dans les séries de Fourier

[invite4ef352d8]

Enfin je parlais surtous de la petite manipulation pour rééxprimer la somme des ak, en fonction de celle des ak/k ^^ le th de Cesaro c'est un peu dur d'y échaper quand meme

[invite57a1e779]

Enfin je parlais surtous de la petite manipulation pour rééxprimer la somme des ak, en fonction de celle des ak/k ^^ le th de Cesaro c'est un peu dur d'y échaper quand meme

La "petite manipulation", comme tu l'appelles, consiste à écrire et à utiliser une classique transformation d'Abel...