Espace vectoriel topologique

[invite769a1844]

Bonjour,

voilà un exo où je bloque:

Soit un espace vectoriel sur , et soit l'ensemble des parties convexes de contenant et telles que pour toute droite de contenant ,
le point soit intérieur à l'intervalle .

On dira qu'une partie de est ouverte si pour tout , il existe un tel que .

a) Montrer que l'ensemble de ces "ouverts" définit sur une topologie compatible avec la structure d'espace vectoriel de , et que constitue une base de voisinages de pour cette topologie.

b) On se donne une base algébrique de .
Montrer que pour tout famille de nombres , l'enveloppe de l'ensemble des éléments et appartient à , et que ces enveloppes convexes constituent une base de voisinages de .

c) Montrer que toute forme linéaire sur est continue pour cette topologie.


Déjà pour aborder la a), je dois montrer que est un de ces ouverts. Mais je ne comprends pas très bien cette topologie. Elle est apparemment faite pour rendre les formes linéaires continues.

Mais dans ce passage de la définition:

...le point soit intérieur à l'intervalle .

.

Je ne vois pas vraiment ce qu'il veut dire par "intérieur", enfin "intérieur" dans quel espace topologique?

Merci pour votre aide.
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[invite2c3ff3cc]

Je ne vois pas vraiment ce qu'il veut dire par "intérieur", enfin "intérieur" dans quel espace topologique?

Je pense c'est "intérieur" vis-à-vis de la convexité pas de la topologie : le point est dans le convexe = a*u + (1-a)*v avec 0 < a < 1 et u et v deux points de D inter V.

[invite35452583]

L'intersection est un convexe, comme toute intersection de convexes, d'une droite réelle. C'est donc un intervalle lx;yl, fermé, ouvert ou semi-ouvert, dont il est aisé de définir l'intérieur.

Sinon de manière plus générale, une partie de E est un ouvert de cette topologie si et seulement si ses intersections avec les sev de dimension finie sont ouverts pour la topologie des normes (unique puisque toutes les normes sont équivalentes en dimension finie pour les R-ev).
Cette topologie est aussi la moins fine des topologies qui rendent toutes les formes linéaires continues (cf. b).
C'est, je crois ça reste à vérifier, la borne supérieure des topologies induites par les normes sur E. Elle n'est néanmoins non normable.