bonjour
j'ai un probleme , on peut demontrer beaucoup de relations ou de formules par recurrence mais apres tout qu'est ce que c'est que la demonstration par recurrence pourquoi quand une formule est faire pour une entier naturel elle est vraie pour son successeur , je ne c'est pas pour vous mais j'arrive pas verifier sa validité
autrement dit j'arrive pas a comprendre pourquoi elle est vraie
merci
Dans une présentation axiomatique des entiers naturels, le "raisonnement par récurrence" est directement formalisé par un axiome. Vérifier sa validité risque d'être dur !
Salut (à cette heure je sais pas si c'est bonsoir ou bonjour..)
J'ai rien compris à ce que t'as dit MMu XD.
En fait le raisonnement par récurrence consiste justement à prouver que, à partir d'un certain niveau, si une propriété est vraie, alors elle sera vraie pour tous les niveaux suivants.
Pour les entiers naturels par exemple, si tu sais que ta propriété est vraie pour 1, et si tu arrives à montrer que si elle est vraie pour n elle est vraie pour n+1, alors tu peux dire que cette propriété est toujours vraie à partir de 1.
C'est ça le raisonnement par récurrence... ça répond à ta question?
Salut ced-29 .
Il semblerait que futur_p sait ce qui est le raisonnement par récurrence , mais il se pose la question pourquoi est ce valide de raisonner comme ça .
Et moi j'ai dit que ce "raisonnement par récurrence" est d'une certaine façon un axiome, donc pas de question ! (du moins pas ici)
Do you follow me ?
oui je sais deja comment demontrer par recurrence mais jarrive pas a comprendre pourquoi cette methode de demonstration est valideEnvoyé par MMu
Salut ced-29 .
Il semblerait que futur_p sait ce qui est le raisonnement par récurrence , mais il se pose la question pourquoi est ce valide de raisonner comme ça .
Et moi j'ai dit que ce "raisonnement par récurrence" est d'une certaine façon un axiome, donc pas de question ! (du moins pas ici)
Do you follow me ?
MMu vient de te répondre par 2 fois...
ceci dit l'axiome "toute partie de N admet un plus petit élément" permet de justifier le principe de récurrence, donc ce qui fait que la récurrence est un raisonnement valide, bah l'intuition, et d'ailleurs je crois que certains mathématiciens refusent la récurrence.
dsl mais je suis pas convaincu en tout cas merci pour votre aide je chercherai ailleurs
La démonstration de la récurrence ca se passe ainsi :
Soit Pn une propriété.
Hypothese : P(n0) vrai
P(n)=>P(n+1)
Soit A l'ensemble des n tel que P(n) faux.
On suppose A non vide (Raisonnement par l'absurde),
On prend le plus petit n noté p.
Alors, p-1 sera vrai car n'appartiendra pas à A puisque p est le plus petit.
Aussi, on a contradiction car P(p-1) => P(p)
En gros et sans formalisme ^^
Au risque de passer pour un con je me demande bien ce qui peut vous chiffonner dans une démo par récurrence...
Je ne vois même pas où est l'axiomatique, c'est juste un raisonnement logique à mon sens...
Je montre que si mon robot monte une marche, alors forcément il monte la suivante.
Et je vérifie qu'il est en train de monter la première marche, je sais alors qu'il va monter tout l'escalier !
C'est pas évident tout ça ? (oui faut se méfier des évidences en math, mais la c'est même plus de l'évidence, c'est juste de la logique !)
Il faut se méfier des évidences à mon avis. On peut ne pas mettre la récurrence comme axiome de IN, mais cette propriété est démontrable si on prend comme axiome que toute partie non vide de IN admet un plus petit élément (voir démonstration de beltime).
Tout le problème est dans la construction qu'on fait de IN.
Deux remarques :
- La démonstration de beltime nécessite un argument (axiome) supplémentaire : tout élément différent de 0 possède un prédécesseur, sinon, elle ne marche pas.
- La théorie obtenue en remplaçant dans l'axiomatique de Péano, le schéma d'axiomes de récurrence par la propriété d'être un bon ordre n'est pas une théorie du premier ordre.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
il peut tomber en panne a la premiere marche et ne pas continuer a monter l'escalier ce qui en fait un contre exemple non ?
Bah non.il peut tomber en panne a la premiere marche et ne pas continuer a monter l'escalier ce qui en fait un contre exemple non ?
Si il peut tomber en panne, je ne peux pas montrer que s'il monte une marche, alors il monte nécessairement la suivante.
Salut,
je pense que déjà pour que cette discussion ait un sens, il faudrait savoir de quelle définition deon part.
Une fois qu'on s'est choisi une définition de
Ce qui me gêne dans ce que vous dites, c'est que je ne vois pas a priori pourquoi il ne serait pas possible d'imaginer que le rang de ma propriété soit à valeurs dans {1/2^k,k dans N\{0}} par exemple.
je ne comprends pas vraiment ce que tu dis.
je crois que ganash s'est trompé de topic
Non je me suis un peu égaré, je voulais simplement dire que montrer que
7^(n) est congru à 1 modulo 6 pour tout n entier naturel, on pourrait montrer que 7^(n-1/2) est congru à 1 modulo 6 pour tout n dans {1/2^k, 0<k, k dans N}.
A priori ca revient au même et on ne raisonne plus sur N...
Mais mon ensemble est dénombrable, donc j'imagine que c'est la même chose.
Pour futur_p, des remarques commeme font penser que c'est plus la logique du raisonnement par récurrence que les axiomes sur N qui te font défaut.il peut tomber en panne a la premiere marche et ne pas continuer a monter l'escalier ce qui en fait un contre exemple non ?
Mais je peux me tromper...
Il y a quelque chose que je ne comprend pas dans ton exemple, ta relation d'équivalence est définie sur IR ? Enfin je veux dire tu travailles dans
Ah exuse moi j'ai dit une connerie, mon ensemble est
{k/2, 0<k, l dans N}
Je suis dans Z/6Z
ok, je crois que je comprends ta démarche, tu veux essayer de trouver un exemple de récurrence qui ne soit pas trop dans le contexte des entiers.
Mais je comprends futur_p, je me souviens que ça me perturbait aussi cette histoire de raisonnement par récurrence, ça parait naturel d'accord, mais après formellement, c'est une autre histoire.
Par exemple si on part de cette définition de IN: http://fr.wikipedia.org/wiki/Constru...tiers_naturels, comment vérifier le principe de récurrence?
Quelques remarques :
- Dans un raisonnement par récurrence la propriété à vérifier doit être indexée par IN (en fait n'importe quel ordinal, dénombrable ou non, mais il y a des choses à ajouter pour les ordinaux limites), mais rien n'interdit de manipuler des nombres IR (par exemple montrer par récurrence que e.2-n est compris entre 0 et 3).
- La récurrence ne fonctionne pas pour les propriétés indexé par Q avec l'ordre naturel (la notion de successeur n'existe pas).
- Les entiers de Von Neuman sont les ordinaux finis qui sont bien un modèle de Péano, et qui vérifient bien la récurrence (c'est un bon ordre, voir la démonstration (amendée
) de beltime).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'était juste histoire de démontrer le raisonnement par récurrence, ou du moins, de montrer pourquoi et comment on l'applique... ^^"
merci, vous avez un lien vers la démo de beltime?Quelques remarques :
- Dans un raisonnement par récurrence la propriété à vérifier doit être indexée par IN (en fait n'importe quel ordinal, dénombrable ou non, mais il y a des choses à ajouter pour les ordinaux limites), mais rien n'interdit de manipuler des nombres IR (par exemple montrer par récurrence que e.2-n est compris entre 0 et 3).
- La récurrence ne fonctionne pas pour les propriétés indexé par Q avec l'ordre naturel (la notion de successeur n'existe pas).
- Les entiers de Von Neuman sont les ordinaux finis qui sont bien un modèle de Péano, et qui vérifient bien la récurrence (c'est un bon ordre, voir la démonstration (amendée
Si j'ai bien compris, S n'est pas un ordinal, mais c'est quoi un ordinal et un ordinal limite?
Elle est sur la premiere page...
ah oui d'accord, merci Beltime.
Je ne vais pas faire un cours sur les ordinaux, ce qui serait démesuré ici (c'est la notion de bon ordre qui m'a fait réagir) et on trouve de bon cours sur le net (cherche Dehornoy sur le net), mais pour t'en donner une idée rapide :
Ajoutons à IN un élément plus grand que tous les entiers que je note
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
