Probleme algèbre

[invite71a6f1bd]

Bonjour
Je suis sur un petit probleme d'algebre, mais j'avoue ne pas vraiment comprendre!
J'explique brievement le sujet:
E un R-ev (on suppose que tt sev de E a un supplementaire).
Soit U en endomorphisme de E. (jusque la tout va bien )

On considere qu'il existe un projecteur p de E tel que p°u-u°p=u

J'ai regardé (et compris je crois ) ce qu'etait un projecteur. Mais on ne m'indique rien dessus et j'ai du mal a repondre donc a la premiere question (c'est assez frustrant de bloquer au debut d'un probleme )

Je dois demontrer que u°p=0 et en deduire que u°u=0

Je vous demande pas de me le faire mais une petite indication ne serait pas de refus!

Merci a vous !
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[invitea07f6506]

Compose à droite par p.

Je rappelle que :
* p°p = p pour tout projecteur p ;
* toute valeur propre d'un projecteur est 0 ou 1 (ou, si tu n'a pas vu les valeur propres, que E est somme directe de Im(p) et de Ker(p), et que p(x)=x pour tout x dans Im(p)).

[invitebe0cd90e]

Par définition d'un projecteur, on a

Donc en appliquant p a ton equation, on trouve De la tu peux deduire que , sauf erreur....

[invitea07f6506]

Par définition d'un projecteur, on a

Donc en appliquant p a ton equation, on trouve De la tu peux deduire que , sauf erreur....

C'est une autre méthode, mais il y a encore une petite manip' à faire pour aboutir à u°p=0. S'il a vu les valeurs propres, ma méthode est sûrement plus directe ; sinon, la tienne est plus simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite71a6f1bd]

Et bien merci bcp, c'est on ne peut plus claire

[invite71a6f1bd]

En fait je me rend compte que ce n'est pas si clair que ca dans ma tete
Je pensais que p°u°p=0 => u°p=0
Mais apparament ce n'est pas possible car p n'est pas inversible.
J'ai jamais manipulé de projecteur (meme pas un cours, promis ) donc pourriez vous m'eclairer sur ce point:
si p°u°p=0 autrement dis p(u°p)=0 ca veut bien dire que la projection de u°p vaut 0?
or 'enfin je pense ) si p(x)=0 alors x=0, nen? si no pourquoi?
Enfin c'est la que ca coince dans ma (petite ) tete: je n'arrive pas a voir ce que ca represente...
Donc si qqu'un a le courage de se lancer dans une explication, je "l'ecouterai " attentivement

Merci pour votre aide, c'est cool

[invitea07f6506]

Pour avoir un projecteur, il te faut :
* Un sous-espace vectoriel F de E ;
* Un supplémentaire G de F dans E.
Tout vecteur de E se décompose de façon unique en une somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G.
La projection p sur F parallèlement à G est l'application (linéaire) qui à un vecteur x associe sa composante selon F. En particulier : si x appartient à F, alors p(x)=x. Si x appartient à G, alors p(x)=0. Im(p)=F et Ker(p)=G.
Cette projection induit l'identité sur F, et l'application nulle sur G.

Ca, c'est la définition. Une caractérisation d'un projecteur est : soit l un application linéaire. l est un projecteur si et seulement si l°l=l.

Par exemple, dans R2 : ou considère les sev F=vect((0,1)) et G=vect((1,1)). Posons f=(0,1) et g=(1,1).
(x,y)=(y-x).f+x.g pour tout (x,y) dans R2.
La projection p sur F parallèlement à G est l'application (x,y) -> (y-x).f=(0,y-x). T peux vérifier que l'on a bien p°p=p, Im(p)=F et Ker(p)=G.

Si tu connais les valeurs propres : p a pour valeurs propres 0 et/ou 1. L'ensemble des vecteurs propres pour la valeur propre 0 est G=Ker(p) ; l'ensemble des vecteurs propres pour la valeur propre 1 est F=Im(p).


Bon, voilà pour la présentation des projecteurs. Pour la fin du problème, cela n'a aucune importance : il te suffit de composer à droite par p dans ton égalité initiale, et d'y réinjecter p°u°p=0.
p°u°p-u°p=u°p

[invite71a6f1bd]

Merci bcp! C'est vraiment plus limpide
Désolé de pas avoir repondu plus tot, mais c'etait mon anniv
Merci, je vais essayer de continuer mon probleme!
cette explication est tres claire en tout cas
merci