petite question matrice

[inviteb3540c06]

bonjour

soient A et B des matrices inversibles de Mn(K).si A et B st inversibles alors AB
est inversible.

est ce qu'on peut déduire de la proposition : si AB n'est pas inversible alors A et B ne sont pas inversible

merci
cdlt
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[Gwyddon]

Tu fais une faute de logique

Ce que l'on peut dire c'est que par contraposée

"si AB est non inversible alors A est non inversible ou B est non inversible"

C'est un OU, pas un ET

En effet

[invitec053041c]

Salut.

Un exemple simple aurait dû te mettre la puce à l'oreille: en prenant A=Id et B=0 (matrice nulle).

[inviteb3540c06]

ok j'ai les 2 matrices :


et

en calculant le det (=0)je sais que ces 2 mat ne sont pas inversible,mais la question est : déduire du calcul de AB que A ET B ne sont pas inversibles et franchement je vois pas

merci
cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

As-tu calculé le produit AB ? Tu aurais remarqué quelque chose.

[inviteb3540c06]

AB est la matrice nulle donc n'est pas inversible mais comment en déduire que A et B ne sont pas inversibles ???????

[Gwyddon]

Par l'absurde par exemple :

si A était inversible et ayant AB=0, que pourrais-tu dire de B ?

de même si B était inversible et ayant AB=0, que pourrais-tu dire de A ?

[inviteb3540c06]

mais A et B ne sont pas nulles dan mon exo ?

[inviteb3540c06]

donc bien vu gwyddon

[Gwyddon]

Bah voilà

[inviteb3540c06]

bon beh suite des évènements

on me dit expliciter LES matrices Z M2(Q) tels que AZ = 0,sachant que A n'est pas inversible il existe donc Z0 tel que AZ = 0 ,en traffiquant un peu je trouve

la matrice convient mais c'est alors qu'une question s'impose, pourquoi le LES

merci
cdt

[inviteb3540c06]

ca y est y a plus personne

[Jeanpaul]

Si la matrice Z marche, la matrice 2 Z marchera aussi.

[inviteb3540c06]

merci pour ta superbe intervention jean paul

[inviteb3540c06]

dernière question :

expliciter les matrices X,Y M2(Q) tels que AX=AY.

perso je dirais que X=Y et que c'est l'ensemble des matrices carrées rationnelles.

quelqu'un peut confirmer

[inviteb3540c06]

personne

[invitec053041c]

dernière question :

expliciter les matrices X,Y M2(Q) tels que AX=AY.

perso je dirais que X=Y et que c'est l'ensemble des matrices carrées rationnelles.

quelqu'un peut confirmer

Ces matrices marchent, mais je pense qu'on peut en trouver d'autres .

C'est la matrice A écrite plus haut ? (de det nul)
On peut voir du côté de la diagonalisation de A, je ne sais pas du tout..

[Gwyddon]

Bonsoir,

Tu as un train à prendre ? Un peu de patience !

[inviteb3540c06]

qu'est ce que tu pense de ma réponse Gwyddon ???

[inviteb3540c06]

bonsoir tous le monde
merci pour tout , moi il est l'heure de

[Jeanpaul]

Si tu écris ça A (X-Y) = 0 ça doit t'évoquer la recherche du noyau d'une matrice singulière, non ? C'est du cours, ça, j'imagine.

[inviteb3540c06]

bonjour
on a pas encore étudier le noyau d'une matrice mais les matrices que tu cherches sont elles différentes de celles que j'ai trouvé ?

merci
cdt

[invitec053041c]

Comme A diagonalisable, tu peux trouver P dans Mn(Q) inversible dans Mn(Q) telle que:
P^(-1)AP soit une matrice diagonale D avec un 0 et un 4.
Tu considères donc le nouveau problème dans la nouvelle base:
DM=DN, ça te donne 2 conditions nécéssaires et suffisantes faciles sur les coefficients de N et M..
Puis tu repasses à l'ancienne base avec les P et P^-1 pour les conditions sur X et Y.

[inviteb3540c06]

bonjour tous le monde

je reprend le raisonnement par l'absurde et pas si facile que ça


et


il faut montrer que A et B ne sont pas inversibles a partir du calcul de AB(=0)

si A est inversible et que AB=0 alors l'unique solution au système est B=0 ce qui est impossible par hypothèse, donc A n'est pas inversible.

pour B je vois pas trop

merci
cdt

[inviteb3540c06]

j'utilise le th:
soit AMp(K).la matrice A est inversible si et ssi la seule solution du systeme AX=0 est X=0

[inviteb3540c06]

a moins que

si B est inversible et AB=0 alors en multipliant par on a :
A=0 ce qui est impossible par hyp donc B n'est pas inversible

voila merci pour tout