div euclidienne

[invite48b7a4f0]

bon week end à tous !!
Petite question :
Sachant que le reste de la div euclidienne de P par X-a est 1
le reste de la div euclidienne de P par X-b est -1

Determiner le reste de la div euclidienne de P par (X-a)(x-b)

P= (x-a)q1 + 1
P= (x-b)q2 - 1
et R = (x-A)(x-B)Q3 + R

Je trouve (a^3)(Q1²)(Q3) / (q1(x-A))² - 1

C'est bizarre le Q2 s'est volatilisé
Quelqu'un peut il me dire si il trouve la même chose?

et deuxieme question
trouvez le reste de la div euclidienne de X^n + 1 par X²+1
pour n= 1 et n=2 c'est facile
Mais pour n>3 on ne peut pas généraliser , ca dépend du n
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[invitec053041c]

Salut.

Pour la division de X^n par X²+1, tu écris:

X^n=(X-i)(X+i)Q+aX+b (le reste est de degré 1 forcément).

Evalue en i et -i pour avoir les coefficients a et b, qui devraient être réels si tout va bien .

[invite48b7a4f0]

merci beaucoup!!

[invitec053041c]

D'ailleurs il suffit d'évaluer en i, puis d'identifier partie réelle/imaginaire..
Bref, même combat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Pour le 1er, on peut procéder ainsi :
on écrit formellement la division euclidienne par (x-a)(x-b) : p(x)=(x-a)(x-b)q(x)+cx+d
On peut le voir comme le début de la division euclidienne par (x-a)
p(x)=(x-a)(q(x)(x-b)+c) +?
Ceci donne une 1ère équation avec c et d.
On procède de même avec (x-b), on obtient une seconde équation avec c et d.
On se ramène ainsi à résoudre un système de deux équations à deux inconnues.