Bonjour à tous,
Je suis confronté à un problème simple en apparence, mais évidemment... je cite (en résumant) les premières phrases de mon rapport :
On désigne par E un espace vectoriel de dimension n finie et non nulle sur un corps K, supposé commutatif et de caractéristique zéro. Le sous-corps premier de K est donc naturellement isomorphe au corps Q des nombres rationnels, auquel il sera identifié. On se fixe une base e = (e1, ..., en) de E et on note Ω le Z-réseau dans E engendré par e. On se donne enfin une forme quadratique q sur E, et on note si la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan orthogonal (pour q) à ei. On suppose que les ei sont non isotropes (pour q) et que la forme q ne prend que des valeurs entières aux points du réseau Ω. On note W le sous-groupe de GL(E) engendré par les si.
Et voilà où les ennuis commencent. Si j'exige que, pour tout point du réseau Ω, son orbite sous l'action de W soit finie, est-ce que je peux en déduire que W est fini ? Eh ben non. Le problème a été posé par Burnside en 1907 (je cite Wiki de mémoire) et partiellement résolu en 1911 par Schur : c'est vrai si W est un sous-groupe de GL(n,C), ce qui est bien mon cas. Mais il existe des groupes de Burnside B(n,m) avec n générateurs d'exposant maximum m, qui sont pourtant infinis...
Avec des conditions aussi draconiennes, je sais que j'ai raison d'affirmer que W est fini. Mais je ne sais pas le prouver. Et la démonstration originale de Schur a été publiée dans l'aujourd'hui introuvable journal de l'académie des sciences de Prusse. Et je ne la retrouve nulle part !
Si quelqu'un pouvait m'indiquer où trouver ça, j'aurais l'esprit bien plus serein (même si ce n'est pas absolument nécessaire à mon boulot).
Merci d'avance.
-- françois
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