Traces de matrices

[inviteb4d8c3b4]

Bonjour à tous !

Voilà, si je pose A et B deux matrices carrées 2x2 composées de coef réel. Soit tr(A) et trB) les traces associées à ce matrices.

Comment démontrer que

C'est évident en remplissant par des valeurs et en vérifiant mais y a-t-il une manière générale de le démontrer ?

Merci
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[invite35452583]

Ca va être dur à démontrer sans condition sur A et B car c'est faux

On a Tr(AB)=aa'+bc'+cb'+dd'
Tr(a)Tr(B)=(a+d)(a'+d')=aa'+da '+ad'+dd'
Il n'y aucune raison que bc'+cb' soit inférieur à da'+ad'
Contre exemple immédiat : a=a'=d=d'=0 b=c=b'=c'=1.

[God's Breath]

Bonjour à tous !

Voilà, si je pose A et B deux matrices carrées 2x2 composées de coef réel. Soit tr(A) et trB) les traces associées à ce matrices.

Comment démontrer que

C'est évident en remplissant par des valeurs et en vérifiant mais y a-t-il une manière générale de le démontrer ?

Merci

Cela me semble faux avec et , donc .

On a alors que

[inviteb4d8c3b4]

Excusez-moi, je me suis complètement planté, je n'ai apparement pas comprs mon cours.

J'ai deux matrices carrées 2x2

et

Il faut que je donne l'expression de la norme associée à: tr(A'.B) avec "tr" étant la trace. Je dois mal comprendre parceque je ne vois pas comment exprimer la norme d'une matrice. Je pensais que c'était la même chose qu'une trace, apparement pas. Mon cours ne parle pas de la norme de matrice. Evidemment, je pense qu'on me demande là une expression en remplassant les composantes de la matrices par des lettres du genre pour A et pour B.

Et en appelant N la norme associée, je dois montrer que :

Encore désolé, merci d'avance pour votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Excusez-moi, je me suis complètement planté, je n'ai apparement pas comprs mon cours.

J'ai deux matrices carrées 2x2

et

Il faut que je donne l'expression de la norme associée à: tr(A'.B) avec "tr" étant la trace. Je dois mal comprendre parceque je ne vois pas comment exprimer la norme d'une matrice. Je pensais que c'était la même chose qu'une trace, apparement pas. Mon cours ne parle pas de la norme de matrice. Evidemment, je pense qu'on me demande là une expression en remplassant les composantes de la matrices par des lettres du genre pour A et pour B.

Et en appelant N la norme associée, je dois montrer que :

Encore désolé, merci d'avance pour votre aide.

J'imagine que A' est la transposée de la matrice A.

Tu considères donc le produit scalaire usuel sur l'espace des matrices carrées, défini par , en notant la transposée de .
La norme eiclidienne associée est définie par , et tu veux montrer que cette norme est sous-multiplicative, c'est-à-dire que, pour toutes matrices et , on a , ou encore .

Ai-je bien compris ton problème ?

[inviteb4d8c3b4]

Oui, j'ai l'impression que c'est bien ça. Je vais chercher et si je n'y arrive pas, je pondrai ici ce que j'ai réussi à faire.

Merci !

[inviteb4d8c3b4]

Mais déjà j'ai du mal à donner l'expression de la norme du produit scalaire. L'expression de la norme de la matrice A par exemple, ok. Mais du produit scalaire ?

Voilà comment je l'écrirai mais ça n'a pas l'air correct: N étant la norme, q la forme quadratique associée et le produit scalaire cité est pour moi et pas seulement et donc :



Alors, je me plante ?

Merci

[God's Breath]

Mais déjà j'ai du mal à donner l'expression de la norme du produit scalaire. L'expression de la norme de la matrice A par exemple, ok. Mais du produit scalaire ?

Voilà comment je l'écrirai mais ça n'a pas l'air correct: N étant la norme, q la forme quadratique associée et le produit scalaire cité est pour moi et pas seulement et donc :



Alors, je me plante ?

Merci

Si le produit scalaire est la forme bilinéaire symétrique positive ,
alors la forme quadratique associée est ,
et la norme associée est .

Mais peut-être es-tu en train de vouloir montrer que est bien définie positive ?

[inviteb4d8c3b4]

Disons que ce qui me gêne, c'est que ce produit scalaire utilise deux matrices A et B et que dans cette forme quadratique que tu me propose, tu n'utilise que A. Or pour quoi pas écrire que la forme quadratique associée à est ?

Tu vois, je comprends pas pourquoi n'utiliser que A ?

Surtout que dans mon cours sur les formes quadra, il y a une ligne intéressante:



et donc appliqué à mon cas, j'aurai écris:



Mais je sais pas ce que ça vaut ?

Merci

[inviteb4d8c3b4]

...

Mais je sais pas ce que ça vaut ?

Merci

Je me corrige moi-même. Je crois avoir trouvé la solution. J'ai mal écris l'équation ci-dessus. Je la réécris correctement:

ce qui correctement écris donne:



Is it ok ? I think so !

[God's Breath]

Disons que ce qui me gêne, c'est que ce produit scalaire utilise deux matrices A et B et que dans cette forme quadratique que tu me propose, tu n'utilise que A. Or pour quoi pas écrire que la forme quadratique associée à est ?

Tu vois, je comprends pas pourquoi n'utiliser que A

Surtout que dans mon cours sur les formes quadra, il y a une ligne intéressante:



et donc appliqué à mon cas, j'aurai écris:



Mais je sais pas ce que ça vaut ?

Merci

Le produit scalaire est une fonction de deux variables, c'est , et la forme quadratique est une fonction d'une seule variable, que tu tu peux choisir d'appeler ou , tu auras :
ou ou .

Dans ton cas, ce qui tient lieu des vecteurs et , ce sont des matrices et : donc f est une fonction de deux matrices , sa valeur est un nombre, que tu calcules par une trace : .
Et la forme quadratique est fonction d'une matrice, c'est ou ou , sa valeur une valeur de , donc donnée par une trace: par exemple.

Je me corrige moi-même. Je crois avoir trouvé la solution. J'ai mal écris l'équation ci-dessus. Je la réécris correctement:

ce qui correctement écris donne:



Is it ok ? I think so !

L'écriture correcte est

parce que, ce qui correspond à l'écriture vectorielle , c'est la somme des matrices .
Donc, en traces :


Remarque : je ne parle pas anglais...