absurde, contraposé

[invitee50a1bfa]

bonsoir


quel est la différence entre un raisonnement par absurde et par contraposé? y a t-il une astuce pour savoir lequel on doit choisir pendant un exercice?


merci. lilia
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[invite1237a629]

Salut,

Pour la contraposée :

Quand tu as A => B, la contraposée sera ¬B => ¬A

Pour l'absurde, on suppose que c'est vrai et on montre qu'on arrive à une absurdité.

Les deux peuvent se ressembler... Je vois pas de règle générale qui dise quoi utiliser :s

[invite57a1e779]

bonsoir


quel est la différence entre un raisonnement par absurde et par contraposé? y a t-il une astuce pour savoir lequel on doit choisir pendant un exercice?


merci. lilia

Comme te l'a dit MiMoiMolette, la contraposée de est , et ces deux propositions sont équivalentes.
Pour démontrer l'une il suffit de démontrer l'autre.

Le raisonnement direct, c'est prouver : on démontre grâce à l'hypthèse .

Le raisonnement par contraposition, c'est prouver : on démontre grâce à l'hypothèse .

Le raisonnement par l'absurde est un peu plus compliqué : on utilise les deux hypothèses et , et l'on obtient une contradiction, c'est-à-dire que l'on démontre deux résultats de la forme et . C'est donc un raisonnement plus lourd, puisque l'on utilise deux hypothèses, et que l'on doit établir deux résultats dont on ne sait pas a priori ce qu'ils sont. Parfois l'un des deux est une tautologie, par exemple est , et l'on se contente d'établir , soit .

Par contre, c'est un bon moyen de recherche, quand on ne sait pas trop quoi faire, parce qu'on dispose de deux hypothèses, ce qui offre beaucoup plus de pistes qu'une seule.

Souvent, on présente maladroitement le raisonnement par contraposition sous la forme d'un raisonnement par l'absurde ; on suppose et l'on démontre :
– si l'on a utilisé dans la démonstration, on a un raisonnement par l'absurde, et on conclut à partir de la contradiction entre et ;
– si l'on a pas utilisé dans la démonstrations, on a un raisonnement par contraposition, puisque l'on a établi , qu'il ne faut pas conclure sous la forme d'un raisonnement par l'absurde en écrivant :
Supposons , on a ... donc on a prouvé , or on a , donc par l'absurde...

Si tu réfléchis bien, le raisonnement par l'absurde utilise deux hypothèses qui sont:
celle du raisonnement direct, et celle du raisonnement par contraposition.
Chercher une preuve par l'absurde, je le répète, c'est se réserver toutes les possibilités : raisonnement direct ou par contraposition si l'on utilise une seule hypothèse, raisonnement par l'absurde si l'on utilise les deux hypothèses.

[invité576543]

Bonjour,

Autre manière de présenter un raisonnement par l'absurde:

Si on démontre que , alors par contraposition, on a démontré , qui est logiquement équivalent à .

Vu comme ça un raisonnement par l'absurde est un cas particulier d'usage de la contraposition, précisément appliqué à .

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Bonjour,

Autre manière de présenter un raisonnement par l'absurde:

Si on démontre que , alors par contraposition, on a démontré , qui est logiquement équivalent à .

Vu comme ça un raisonnement par l'absurde est un cas particulier d'usage de la contraposition, précisément appliqué à .

Cordialement,

C'est toujours comme ça que je préfère le voir. La validité du raisonnement par l'absurde est pour moi une conséquence du fait qu'une proposition et sa contraposée sont équivalentes.