Géométrie sur le tore

[kadomatsu]

Bonjour à tous. Je m'intéresse depuis peu à la question de savoir ce que deviennent des propriétés bien connues dans d'autres cadres que la géométrie euclidienne. Je connais (un peu) des exemples de géométries non euclidiennes mais il n'est pas nécessaire d'aller taquiner le cinquième axiome pour trouver des choses amusantes : sur le tore (vu comme le carré de l'intervalle [0;1]), il y a bien une unique parallèle à une droite donnée passant par un point extérieur à cette droite, pourtant on a déjà des propriétés amusantes : par exemple, pour toute droite et tout entier n on peut trouver une droite qui intercepte la première en n points, ou encore on peut fabriquer des cercles non connexes en choisissant convenablement le rayon.

Connaitriez-vous d'autres exemples de ce type, avec des propriétés "bizarres", et sauriez-vous me dire s'il existe des références sur ce type de géométrie ? Merci d'avance !
-----

[invité576543]

Bonjour,

Si tu cherches des espaces géométriques homogènes (tous les points sont "identiques"), de dimension 2 et qu'on peut munir d'une métrique euclidienne, il me semble qu'il n'y a que trois possibilités, le plan, le tore que tu cites, et le cylindre.

Il y a d'autres espaces géométriques homogènes en 2D, mais elle ne sont pas euclidiens (sphère, plan projectif, bouteille de Klein, tore à deux trous, etc.).

Cordialement,

[kadomatsu]

Merci pour ta réponse ! Connaitrais-tu une source où je pourrais trouver de plus amples renseignements ?

[invité576543]

Merci pour ta réponse ! Connaitrais-tu une source où je pourrais trouver de plus amples renseignements ?

Une réponse pas très positive ou constructive: il est plus facile de trouver des sites ou textes de haut niveau sur les géométries 3D (comme là), qui sont le sujet de questions ouvertes, que des textes élémentaires synthétiques sur les géométries 2D, qui ont été complètement analysées au XIXème siècle.

J'ai buté dans le temps sur ce problème de sources, quand j'ai essayé d'améliorer ma compréhension de la géométrie sur le tore à deux trous.

D'autres ont peut-être des suggestions plus constructives?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[kadomatsu]

Ok ! Au fait, en relisant ton message je me demande pourquoi le tore à deux trous ne donne pas quelque chose d'encore différent, en utilisant par exemple l'hexagone régulier. Est-ce que cela revient au même que le tore ?

[invite4ef352d8]

qu'entend tu par espace homogèneMichel ? parceque le tore à deux trou que je connais ne donne pas vraiment l'impression d'etre Homogène (il ne possède qu'un nombre finit d'isométrie, alors que j'aurais imaginer que dans un espace homogène on peut envoyer A sur B isométriquement pour tous couple de points A,B)

Sinon je comprend pas bien ce que tu veux dire avec un hexagone, mais en effet les tore à n trou s'obtienne en effet en identifiant les coté opposé de polygone (enfin plutot de polygone hyperbolique quand meme), mais l'identification ne doit pas se faire n'importe comment : il faut déja respecter la longeur des coté evidement, mais aussi leurs orientation et enfin la somme des angle autour de chaque point doit bien etre 2*Pi, si tu fais une identification qui respect tous ca sur un Hexagone tu retrouve le Tore classique (en gros car l'hexagone peut paver le plan), pour obtenir un tore à deux trou il faut faire des choses "un peu plus compliqué"

[invité576543]

Ok ! Au fait, en relisant ton message je me demande pourquoi le tore à deux trous ne donne pas quelque chose d'encore différent, en utilisant par exemple l'hexagone régulier. Est-ce que cela revient au même que le tore ?

Si on peut obtenir le tore à partir du carré, on obtient le tore à deux trous à partir de l'octogone. C'est bien moins facile à visualiser, mais ça marche... J'ai mis un certain temps, avec quelques dessins à comprendre...

Cordialement,

[invite35452583]

qu'entend tu par espace homogèneMichel ? parceque le tore à deux trou que je connais ne donne pas vraiment l'impression d'etre Homogène (il ne possède qu'un nombre finit d'isométrie, alors que j'aurais imaginer que dans un espace homogène on peut envoyer A sur B isométriquement pour tous couple de points A,B)

Le tore est le quotient du plan euclidien par l'action de ZxZ. Il est donc homogène. Une isométrie envoyant un point A sur un point B est le quotient de la translation envoyant un point de la classe de A sur un élément de la classe de B.
A mon avis, tu t'es laissé abuser par la représentation du tore dans R³ qui n'est pas un espace homogène (certains points sont elliptiques d'autres hyperboliques).

[invité576543]

qu'entend tu par espace homogène Michel ? parceque le tore à deux trou que je connais ne donne pas vraiment l'impression d'etre Homogène (il ne possède qu'un nombre finit d'isométrie, alors que j'aurais imaginer que dans un espace homogène on peut envoyer A sur B isométriquement pour tous couple de points A,B)

J'avais la même réaction que toi dans le temps. En travaillant sur le repliement de l'octogone, on arrive (un peu) à voir pourquoi tous les points sont équivalents. Les isométrie dont on parlent ne sont pas celles en 3D, mais celles qui respectent les géodésiques à la surface du bretzel, et il y en a une infinité.

Si tu prends le cas du tore, tu vois bien que les points ne sont pas équivalents en 3D: une des isométries consiste à faire "tourner" autour de l'axe intérieur (l'axe en forme de cercle, par opposition à l'axe extérieur, une droite passant par le trou...), ce n'est pas une isométrie 3D (l"équateur intérieur et l'équateur extérieur n'ont pas le même diamètre en 3D, mais ils ont la même longueur dans la métrique du tore). Par contre la vision comme carré montre immédiatement que les points sont tous équivalents (et l'égalité de longueur des équateurs).

Pour le bretzel, c'est pareil: les isométries de la métrique à la surface sont encore moins faciles à visualiser en 3D, mais évidentes dans le pavage octogone.

Re-précisons qu'il s'agit du pavage du plan hyperbolique, on ne peut pas paver le plan euclidien avec des octogones réguliers tous identiques. Mais on peut pour le plan hyperbolique.

Sinon je comprend pas bien ce que tu veux dire avec un hexagone, mais en effet les tore à n trou s'obtienne en effet en identifiant les coté opposé de polygone (enfin plutot de polygone hyperbolique quand meme), mais l'identification ne doit pas se faire n'importe comment : il faut déja respecter la longeur des coté evidement, mais aussi leurs orientation et enfin la somme des angle autour de chaque point doit bien etre 2*Pi, si tu fais une identification qui respect tous ca sur un Hexagone tu retrouve le Tore classique (en gros car l'hexagone peut paver le plan), pour obtenir un tore à deux trou il faut faire des choses "un peu plus compliqué"

Il y diverses manière de replier l'hexagone. Une est équivalente au carré, et on trouve un tore. Mais il y en a une qui donne une surface homogène, mais ce n'est ni le tore, ni le tore à deux trous, mais la bouteille de Klein. Encore plus dur à visualiser, à tenter uniquement si on a compris l'octogone et le tore à deux trous...

Cordialement,


Edit: Croisement avec homotopie, mais il n'y a pas de contradiction...