Fractales et théorie du chaos

[invite171486f9]

Bonjour, je suis en PCSI et je cherchais quelques approfondissements pour le sujet que j'ai choisi pour mes TIPE : les fractales.
alors en regardant la définition sur wiki, j'ai trouvé deux notions que j'ai du mal à définir et à comprendre : "dimension de Hausdorff / dimension topologique d'une fractale" et je ne comprends pas en quoi la notion d'homothétie intervient dans une fractale.
Si quelqu'un peut m'éclairer sur ce sujet, ce serait avec grand plaisir...
pensez-vous que ce soit abordable au niveau Bac +1 ???

merci d'avance !!!
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[invitebe0cd90e]

Bonjour, je suis en PCSI et je cherchais quelques approfondissements pour le sujet que j'ai choisi pour mes TIPE : les fractales.
alors en regardant la définition sur wiki, j'ai trouvé deux notions que j'ai du mal à définir et à comprendre : "dimension de Hausdorff / dimension topologique d'une fractale" et je ne comprends pas en quoi la notion d'homothétie intervient dans une fractale.
Si quelqu'un peut m'éclairer sur ce sujet, ce serait avec grand plaisir...
pensez-vous que ce soit abordable au niveau Bac +1 ???

merci d'avance !!!

Alors :

- oui, je pense que c'est abordable... C'est meme me semble t il un sujet courant.
- La dimension de Hausdorff est une generalisation de la notion habituelle de dimension. L'idée "intuitive" est la suivante : les fractales sont des courbes très irrégulières, tellement que, par exemple, certaine courbe fractales peuvent remplir une surface. Or, une courbe est normalement de dimension 1 (comme une droite), et une surface de dimension 2.. Donc on a envie de dire que la dimension de la fractae est quelque part entre 1 et 2... Du coup on definit mathematiquement une notion de dimension qui n'est plus un nombre entier, et qui rend compte de la maniere dont une fractale "s'etale" et prend de la place.
- la notion d'homotetie intervient en un sens, puisque certaine fractale sont dite "auto similaire". Cela siginifie que si tu regarde "l'image" que tu as en regardant une fractale, et que tu zoomes dessus d'un certain facteur, tu vas retrouver la meme image.

[invite171486f9]

d'accord ! je pense avoir un peu mieux compris...

- mais en quoi on peut dire qu'une fractale est entre une courbe et une surface ? Comment peut on donner une valeur approcher de la dimension qui rend compte de cet "étalement" ?
- donc si j'ai bien compris, l'homothétie revient à fixer un point d'origine et un sens, pour définir chaque point de la fractale ? Est-ce calculable ?

[invitebe0cd90e]

- mais en quoi on peut dire qu'une fractale est entre une courbe et une surface ? Comment peut on donner une valeur approcher de la dimension qui rend compte de cet "étalement" ?

Ca c'est un peu dur à expliquer sans etre face à face. L'idée c'est qu'une courbe "normale" est "lisse", cad que si tu la regarde "de près" ca ressemblera à une droite. Une fractale est par definition une courbe infiniment irreguliere, cad que si tu zoomes dessus à l'infini tu verras toujours des irrégularités. Donc une fractale "prend plus de place" qu'une courbe lisse.

Pour mathematiser ca, bah ya une formule à appliquer, qui redonne les dimensions habituelles pour les courbes et surfaces normales... Jettes u oeil la : http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_d...n_de_Hausdorff

- donc si j'ai bien compris, l'homothétie revient à fixer un point d'origine et un sens, pour définir chaque point de la fractale ? Est-ce calculable ?

Euh, non, je ne crois pas que tu aies compris Sais tu ce qu'est une homotetie ? En gros c'est simplement un aggrandissement ou un retrecissement d'une figure geometrique. Donc ca ne permet pas de construire une fractale. Seulement il y a des fractales dite "auto similaire", regarde :http://fr.wikipedia.org/wiki/Autosimilaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite171486f9]

ok, merci ! Par exemple, la formule donnant la dimension de Hausdorff "delta" en fonction du nombre n de répétition de la forme de départ et du grandissement (homothétie) h :

"delta" = ln(n) / ln(h)

Peut-on appliquer cette formule sur chaque fractale ? Et trouver n et h à vue d'oeil de la fractale ?

Et d'autre part, que dire du périmètre d'une fractale ? Infini ? Bizarre vu que la figure occupe un espace fini. Elle obéit donc à la théorie du chaos : somme de termes infiniments petits qui rend le périmètre total imprévisible... ?

Une dernière question :
Comment peut-on avoir la dimension topologique (définition classique de la dimension) d'une fractale ? d'après ce que j'ai compris, la dimension topologique d est supérieure à la dimension de Hausdorff "delta" :

d-1 < delta < d

Merci de m'éclairer sur plus possible de ces questions, cela m'aiderait beaucoup

Merci d'avance !

[invite171486f9]

est-ce que quelqu'un aurait une quelconque réponse à mes questions ? ou rien qu'une petite explication... merci

[invitef591ed4b]

Peut-on appliquer cette formule sur chaque fractale ? Et trouver n et h à vue d'oeil de la fractale ?

Seulement sur celles qui sont autosimilaires, en particulier celles qui sont construites avec des systèmes de fonction itérée (iterated function systems, IFS). Pour ces fractales, c'est facile de calculer leur dimension de Hausdorff à vue d'oeil : la fractale est composée de copies d'elles-mêmes; tu comptes le nombre n de copies de mêmes tailles composant ta fractale, ainsi que le facteur d'agrandissement h à appliquer à la copie pour obtenir l'originale. La dimension est alors ln n/ln h.

Et d'autre part, que dire du périmètre d'une fractale ? Infini ? Bizarre vu que la figure occupe un espace fini.

C'est notamment pour ça que les fractales sont des objets étranges

Elle obéit donc à la théorie du chaos : somme de termes infiniments petits qui rend le périmètre total imprévisible... ?

Non le périmètre infini d'une fractale n'a rien à voir a priori avec le chaos. Certaines fractales apparaissent cependant dans l'étude des systèmes chaotiques, mais il s'agit d'un lien d'une autre nature.

d'après ce que j'ai compris, la dimension topologique d est supérieure à la dimension de Hausdorff "delta" :

Non c'est l'inverse : pour une fractale, la dimension topologique est strictement inférieure à sa dimension de Hausdorff. La dimension topologique s'obtient en prenant le plus grand entier inférieur à la dimension de Hausdorff

[invite171486f9]

ok, merci beaucoup de tes explications.
pour retrouver n et h, est-ce applicable sur n'importe quelle IFS ? Par exemple, prenons l'exemple de la poussière de Cantor :



Calculer la dimension de Hausdorff semble facile, cette fractale est construite selon différentes étapes. Chaque étape n+1, reprend le segment de l'étape n et le réduit du tiers (h=1/3), et chaque nouveau segment est copié 2 fois.

d'où : h=ln(2)/ln(3)

mais, pour l'exemple du flocon hexagonal, j'ai du mal à comprendre ;



J'ai trouvé sur wiki que : h=ln(7)/ln(3)

Pouvez-vous m'expliquer pourquoi ? Pour touver le h, vaut-il mieux prendre la première itération (étape 0 -> étape 1) ?

[invitef591ed4b]

Ça se voit l'oeil nu : le flocon est composé de 7 copies de lui-même, chacune étant 3x plus petite. Donc n=7 et h=3, et la dim est ln 7/ln 3.

Tu peux tout aussi bien dire qu'il est composé de 49 copies, chacune étant 9x plus petite. Donc n=49 et h=9 conviennent aussi, on a que la dim est ln (7²)/ln (3²) = (2 ln 7)/(2 ln 3) = ln 7/ln 3. Ce qui revient au même.

[invite171486f9]

d'accord ! et j'avais également une question à propos de la topologie en rapport avec l'étude des fractales. Un espace euclidien est doté d'un système métrique (distance unitaire sur chaque axe, permettant de caractériser la position d'un point dans un espace euclidien à n dimensions. Mais pour un espace topologique dans lequel on étudie les fractales, pourquoi est-il doté d'un système métrique ? Comment peut-on s'en servir ? et surtout pourquoi ne peut-on pas étudier une fractale dans un espace euclidien ???
Merci d'avance de vos réponses

[invite171486f9]

est-ce que quelqu'un peut m'aider???