Polynôme et projecteur

[invitedf04a0e5]

bonjour j'aurais besoin d'aide pour mon exo svp

_______________+
soit n N. P =a_kX^k K[X]
_______________ k=0
_______________n
on pose T_n(P) =a_kX^k
_______________k=0


il faut que je montre que T_n est un projecteur.

je sais que pour cela, il faut que je montre que T_n o T_n=T_n
mon problème c'est que je ne sais pas ce que donne T_n o T_n

pourriez-vous m'aider svp ??

je vous remercie d'avance
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[invitec053041c]

Salut.

C'est quasiment immédiat:

Tn tronque une série à partir du degré >n.
Quel est le tronqué d'un polynôme de degré n à partir du degé >n ? Vois-tu que c'est P ?

[invitedf04a0e5]

je n'ai pas encore vu ce qu'est un tronqué d'un polynôme, n'y a-t-il pas un autre moyen de répondre à la question ?

[invitec053041c]

je n'ai pas encore vu ce qu'est un tronqué d'un polynôme, n'y a-t-il pas un autre moyen de répondre à la question ?

Ben quand je dis tronquer à partir du degré >n, je veux simplement dire qu'on annule tous les coefficients affectant un X^k (c'est ak ici) avec k>n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Si tu appelles A=IRn[X] ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n, et B= l'ensemble des séries dont le monôme de plus bas degré a un degré > n.

Alors ton application est la projection sur A parallèlement à B.

[invitedf04a0e5]

Si tu appelles A=IRn[X] ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n, et B= l'ensemble des séries dont le monôme de plus bas degré a un degré > n.

Alors ton application est la projection sur A parallèlement à B.

d'accord merci.

sinon dans la suite de l'exercie je dois déterminer l'image de T_n et montrer que Ker T_n = Xⁿ⁺¹K[X] (où Xⁿ⁺¹K[X]={Xⁿ⁺¹P,PK[X]})

pourriez vous m'aider, je sais comment faire si j'ai des ev mais là avec les polynômes j'ai du mal

merci d'avance

[invitec053041c]

Je rectifie mon message de tout à l'heure: je voulais dire polynôme, et non série.

Ben le Ker c'est encore cette histoire de troncature !

Il est clair que Tn(P) est nul ssi la valuation de P est strictement supérieure à n. Donc avec P appartenant à K[X].

edit: la valuation, c'est le degré du monôme de plus bas degré.