Théorème de gauss-bonnet

[invitef215f1a7]

Bonjour, je dois démontrer les 2théorèmes suivants:

le 1er:

La somme de la courbure de Gauss totale et de la courbure géodésique totale du bord d'une surface polyèdrale est le produit de 2Pi par la caractéristique d'Euler de la surface.


Je travaille sur les surfaces polyédrales, pour rappel (un gros rappel même ^^):

Une surface polyèdrale est un ensemble fini de facettes vérifiant les propriétés suivantes:

Deux facettes ne peuvent être que disjointes ou avoir une arête commune (et rien d'autre en commun).
Une arête ne peut appartenir à plus de 2 facettes. Les arêtes qui n'appartiennent qu'à une seule facette sont dites "bordantes''.
Parmi les arêtes ayant un sommet donné pour extrémité, 0 ou 2 sont bordantes. S'il y en a 2, le sommet est dit "bordant''.

L'ensemble des arêtes et des sommets bordants forment un ligne polygônale appelé le "bord'' de la surface polyèdrale.

Les arêtes et les sommets qui ne sont pas bordants sont dits "intérieurs''. La "courbure de Gauss'' en un sommet intérieur est par définition moins la somme des angles des facettes en ce sommet. La courbure de Gauss totale est la somme des courbures de Gauss pour tous les sommet intérieurs.

La courbure géodésique en un sommet bordant est moins la somme des angles des facettes en ce sommet. La "courbure géodésique totale du bord'' est la somme des courbures géodésiques aux sommets bordants.

La "caractéristique d'Euler'' d'une surface polyèdrale est égale au nombre de facettes - le nombre d'arrêtes + le nombre de sommets.


Où j'en suis:
C'est facile à vérifier (en prenant des exemples comme un cube ou une pyarmide par exemple) mais je n'arrive pas à commencer de démonstration, je ne sais pas comment commencer ni sur quoi m'appuyer...
Bien sur je ne demande pas de réponse toute faites, mais j'aimerais avoir des pistes, savoir sur quoi m'appuyer pour démontrer ce théorème car je n'arrive pas à trouver de liens entre les différents éléments de "l'égalité"...



Si quelqu'un pouvait me venir en aide.
Merci

PS: j'ai un autre théorème qui est en rapport à démontrer mais je le posterais peut-être après car la démonstration de celui-ci pourra peut-être m'aider pour le prochain (et donc je pourrais peut-être m'en sortir tout seul).
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[invite57a1e779]

Tu choisis une arête, bordante s'il y en a une, et une (la) face à laquelle appartient cette arête.
Tu enlèves alors à cett face un triangle construit sur l'arête choisie et une autre arête.
Par exemple, sur un cube, tu enlèves une demie face.
Tu obtiens une nouvelle surface polyèdrale dont tu calcules les paramètres en fonction de la première.
Tu montres que la différence des deux membres de l'égalité à prouver est un invariant dans cette manipulation, et tu fais une récurrence en supprimant progressivement des faces jusqu'à obtenir une surface suffisamment simple pour montrer que cette invariant est nul.

Par exemple, sur un cube, tu commence par enlever une demie face, puis l'autre demie face, puis une demie face bordante, puis l'autre, et tu finis par obtenir une surface polyèdrale constituée de deux carrés.

[invite35452583]

Les arêtes et les sommets qui ne sont pas bordants sont dits "intérieurs''. La "courbure de Gauss'' en un sommet intérieur est par définition moins la somme des angles des facettes en ce sommet. La courbure de Gauss totale est la somme des courbures de Gauss pour tous les sommet intérieurs.

Ce serait mieux avec 2pi-somme des angles. Avec cette formule pour une surface sans bord on a somme courbure de Gauss=-(2pi)xnombre de faces.
Enfin bon je suppose que tu le sais sinon tu ne retrouverais pas la bonne valeur pour le cube ou une pyramide.
Et pour la courbure géodésique locale pi-somme des angles.

Il y a donc la méthode indiquée par God's Breath. Il y a aussi une méthode "plus globale". A toi de voir avec laquelle tu te sens plus à l'aise.
a) se ramener au cas d'une surface sans bord : sur une composante connexe du bord on prend un sommet en plus et on considère la surface constituée de la 1ère plus tous les triangles s'appuyant sur une arête de cette composante du bord et ce nouveau sommet.
On montre que la caractéristique de la nouvelle surface=caractéristique de la 1ère + 1
Et, en utilisant somme des angles dans un triangle=pi et le nombre de faces ajoutées=nombre de sommets (= nombre d'arêtes du bord), on montre que la somme des courbures est augmenté de 2pi.
Donc la formule est vraie pour la 1ère ssi elle est vraie pour la 2nde.
En procédant ainsi pour toutes les composantes connexes du bord, on se ramène à montrer la formule pour les surfaces sans bord.
b) On réorganise la somme somme pour tous les sommets de (2pi-somme des angles au sommet) afin de faire apparaître a, f et s
en comptant les 2pi à part
en réorganisant la somme non plus autour des sommets mais en regroupant ceci par face. Or somme des angles dans un polygône=... et puisqu'il n'y a pas de bord chaque arête se retrouve sur deux faces.

[invite57a1e779]

Finalement, les deux méthodes partent de la même idée, transformer la surface de départ en une autre plus simple, soit en ajoutant des faces, soit en retirant des faces.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Finalement, les deux méthodes partent de la même idée, transformer la surface de départ en une autre plus simple, soit en ajoutant des faces, soit en retirant des faces.

Dans la méthode que j'indique, qui n'est ni meilleure ni moins mauvaise, on peut éviter le recours à l'ajout des faces (partie a) et réorganise r la partie b (je te laisse voir, ce ne doit pas être très difficile pour toi). La 1ère fois, il me semble néanmoins préférable de séparer en deux pour affronter une difficulté à la fois.
La différence je la sens donc plus : approche globale/approche locale très complémentaires d'ailleurs.