Equa diff non linéaire...

[invite1777a186]

pour les fana equa diff non linéaire...

soit f solution maximale telle que f(0)=0 de (E) y'=exp(-x*y)

montrer que f est définie sur R
montrer que f est impaire

montrer que lim f(x) en +infini existe et est finie...
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[invite57a1e779]

pour les fana equa diff non linéaire...

soit f solution maximale telle que f(0)=0 de (E) y'=exp(-x*y)

montrer que f est définie sur R
montrer que f est impaire

montrer que lim f(x) en +infini existe et est finie...

Pour la deuxième question, il suffit de montrer que définie par est solution de l'équation différentielle.

Pour la première question, je demande un instant de réflexion.

[invite57a1e779]

pour les fana equa diff non linéaire...

soit f solution maximale telle que f(0)=0 de (E) y'=exp(-x*y)

montrer que f est définie sur R
montrer que f est impaire

montrer que lim f(x) en +infini existe et est finie...

Une solution maximale est définie sur un intervalle ouvert, qui ici contient 0.
Par ailleurs et toute solution est strictement croissante.

Supposons majoré, de borne supérieure .

Lorsque tend vers , tend vers par monotonie, donc tend vers 0.
Il n'est pas très difficile de montrer que ces limites sont incompatibles.

Donc est non majoré.

Il faut ensuite adapter le raisonnement pour montrer que est non minoré.

Donc .

[invitec053041c]

Salut.

Supposons majoré, de borne supérieure .

Lorsque tend vers , tend vers par monotonie

Je ne comprends pas bien cette étape.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonsoir Ledescat,

La solution est croissante sur , donc admet une limite en , qui est sa borne supérieure, donc n'est pas .
Si cette limite est finie de valeur , on peut donc prolonger par continuité en par .
Mézalor est de limite en , et le prolongement est de classe sur avec .

Le théorème de Cauchy assure l'existence d'une solution maximale de l'équation différentielle sous la condition .

On peut alors définir par
– si
– si
en remarquant que la double définition de n'est qu'apparente.
Alors est une solution de l'équation différentielle, qui prolonge , ce qui en contredit la définition de solution maximale.

Une limite finie étant impossible pour en , reste le seul cas de la limite .

C'est du grand classique, qu'il faut savoir mettre en oeuvre rapidement, et efficacement.

[invite35452583]

f est définie sur [0,b[. f est strictement croissante. Donc f est soit majorée soit converge vers +infini quand x tend vers b^-.
Si f est majorée alors f converge vers un réel a. Par continuité de la fonction (x,y)->exp(-xy) on montre que f' tend vers exp(-bf(b)) quand x tend vers b. Or en (b,a) l'équation vérifie l'équation de Cauchy-Lipschitz donc cette solution se prolonge au-delà de b ce qui est contradictoire avec la définition de I.

EDIT : grillé par God's Breath

[invite57a1e779]

EDIT : grillé par God's Breath

Vraiment désolé.

[invite35452583]

Vraiment désolé.

Il n'y a pas de quoi.

[invitec053041c]

Merci beaucoup pour ces réponses rapides..

Je ne veux absolument pas monopoliser le fil, mais j'ai encore un petit truc qui me dérange (c'est plus du cas général):

Pourquoi la configuration suivante est "impossible": on a une solution f maximale qui se prolonge par continuité en b avec f(b)=a. Mais f non dérivable en b (tangente verticale).

(ici j'ai (b,a) inclus dans "l'ouvert de Cauchy").

On peut très bien considérer la solution de Cauchy associée à (b,a) qui ne coupe pas f et qui est gentilment dérivable en b etc. non ?

[invitec053041c]

En fait, je pense que je viens de découvrir la réponse à ma question.

Dans un voisinage ]b-h,b+h[ de b, on a la solution de cauchy de b (notée g, qui est sensée bien fonctionner..), et la solution f initiale, qui vérifient f(b)=a, g(b)=a. Cauchy dit que f=g sur ce voisinage, et donc il n'y aurait pas de dérivabilité en b tout court (pas d'autre solution qui fonctionnerait bien), donc configuration erronée.

Est-ce à peu près cela ?

[invite57a1e779]

En fait, je pense que je viens de découvrir la réponse à ma question.

Dans un voisinage ]b-h,b+h[ de b, on a la solution de cauchy de b (notée g, qui est sensée bien fonctionner..), et la solution f initiale, qui vérifient f(b)=a, g(b)=a. Cauchy dit que f=g sur ce voisinage, et donc il n'y aurait pas de dérivabilité en b tout court (pas d'autre solution qui fonctionnerait bien), donc configuration erronée.

Est-ce à peu près cela ?

Lorsqu'une solution est définie en , elle y est dérivable de dérivée .

Je ne comprends pas ce qui te dérange :
Si a une limite en , on la prolonge en , le prolongement est dérivable en , et on prolonge encore un peu plus loin à l'aide d'une solution du problème de Cauchy pour . On a bien une contradiction.

[invite35452583]

Pourquoi la configuration suivante est "impossible": on a une solution f maximale qui se prolonge par continuité en b avec f(b)=a. Mais f non dérivable en b (tangente verticale).

Parce que f'(x)=exp(-xf(x)) tend vers exp(-bf(b)) qui sera la dérivée à gauche en x=b.
Idée de la preuve (à affiner, partie en italique)
f(x)-f(b)=
or f(x-h)-f(b-h)=(x-b)f'(c(h)) avec c(h) compris entre x-h et b-h

Cette dernière limite (qui existe vu la manière de la définir) est dans exp(-xf(x))([x;b]) car pour tout h f' est dans exp(-xf(x))([x-h;b-h]) et x->exp(-xf(x)) est continue car composée de fonctions continues.
Quand x tend vers b les valeurs dans exp(-xf(x))([x,b]) tend vers exp(-bf(b)).
Donc f'(b)=exp(-bf(b)).

Donc on retrouve ce que tu dis dans le dernier message, cette solution va coïncider avec une solution locale en (b,a) car il y a unicité locale des solutions (qui entraîne donc unicité des solutions maximales et il faut donc une "bonne raison" comme diverger vers +infini pour ne pas être prolongeable).

[invite57a1e779]

Parce que f'(x)=exp(-xf(x)) tend vers exp(-bf(b)) qui sera la dérivée à gauche en x=b.
Idée de la preuve (à affiner, partie en italique)
f(x)-f(b)=
or f(x-h)-f(b-h)=(x-b)f'(c(h)) avec c(h) compris entre x-h et b-h

Cette dernière limite (qui existe vu la manière de la définir) est dans exp(-xf(x))([x;b]) car pour tout h f' est dans exp(-xf(x))([x-h;b-h]) et x->exp(-xf(x)) est continue car composée de fonctions continues.
Quand x tend vers b les valeurs dans exp(-xf(x))([x,b]) tend vers exp(-bf(b)).
Donc f'(b)=exp(-bf(b)).

C'est le théorème de prolongement d'une fonction continue sur , dérivable sur , et telle que admette une limite en : est dérivable en avec

[invitec053041c]

Merci à vous 2.

Lorsqu'une solution est définie en , elle y est dérivable de dérivée .

Parce que f'(x)=exp(-xf(x)) tend vers exp(-bf(b)) qui sera la dérivée à gauche en x=b.

Je ne vois pas pourquoi je n'y ai pas songé, j'ai un grand besoin de sommeil moi. Vous êtes formidables .

[invitea07f6506]

Pour montrer que I=lR, il y a un peu plus simple (à mon goût).

f est croissante, f(0)=0.
f est donc positive sur R+, négative sur R-.
Il suffit de remarquer alors que l'on a toujours 0<f'<=1, d'où |f(x)|<=|x| pour tout x. En particulier, f ne peut pas exploser en temps fini.

En bonus, on traite sur R tout entier et on a une majoration de |f| (sans autre intérêt que de répondre à cette question, d'accord).

[invitea07f6506]

Et pour la limite finie : f admet une limite en l'infini (monotonie).
Si elle est inférieure à 1, il n' a rien à montrer.
Supposons cette limite supérieure à 1. Soit x0 tel que f(x0)=1 (théorème des valeurs intermédiaires si on veut peaufiner).
Psons g(x)=f(x-x0).
g(0)=1 et pour tout x positif, g'(x)=f'(x+x0)=exp(-x*f(x+x0))<=exp(-x).
Donc, pour tout x positif, g(x)<=2-exp(-x)<=2. Valà !

A noter que l'on ne peut pas obtenir de cette façon de majoration par mieux que 2. Comme quoi, le plus simple est parfois le plus efficace !