Produit fini de connexe par arcs

[invite769a1844]

Bonsoir,

comment montrer que le produit d'une famille finie d'espaces connexes par arcs est connexe par arcs?

Merci pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Il me semble qu'il suffit de l'écrire : si, pour tout , est un chemin reliant à dans , alors est un chemin reliant à dans .

[invite9c9b9968]

Hello,

Nickel en effet, God's Breath toujours là où il faut Merci

Si on veut être rigoureux jusqu'au bout, on dit bien pourquoi le chemin final est continu, même si c'est évident

[invite769a1844]

Il me semble qu'il suffit de l'écrire : si, pour tout , est un chemin reliant à dans , alors est un chemin reliant à dans .

ah oui c'est vrai je cherchais beaucoup plus compliqué. Merci God's Breath.

Il y a encore une chose qui me perturbe dans ces connexes par arcs,

s'il existe une application continue d'un intervalle de IR dans un espace topologique telle que et (où ), pourquoi il existe aussi dans un arc simple d'extrémités ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Hello,

Nickel en effet, God's Breath toujours là où il faut Merci

Si on veut être rigoureux jusqu'au bout, on dit bien pourquoi le chemin final est continu, même si c'est évident

car les fonctions composantes le sont, non?

[invite57a1e779]

Si on veut être rigoureux jusqu'au bout, on dit bien pourquoi le chemin final est continu, même si c'est évident

car les fonctions composantes le sont, non?

C'est la seule petite difficulté, les extrémités du chemin étant immédiates.
Donc il faut voir que la définition de la topologie produit fait qu'une application à valeurs dans le produit est continue si et seulement si les composantes le sont : c'est le point purement topologique de la preuve.

[invite769a1844]

ok ça je l'ai étudié dans le cours, j'espère que ma seconde question n'est pas aussi bête, j'ai essayé par l'absurde je me suis cassé les dents et je vois pas comment construire un tel chemin.

[invite57a1e779]

ok ça je l'ai étudié dans le cours, j'espère que ma seconde question n'est pas aussi bête, j'ai essayé par l'absurde je me suis cassé les dents et je vois pas comment construire un tel chemin.

Pourobtenir un chemin continu injectif reliant a à b, ça doit pas être très difficile, mais à l'heure qu'il est je ne vois pas. J'y réfléchirai demain à tête reposée. Je vais me coucher.

[invite769a1844]

Pourobtenir un chemin continu injectif reliant a à b, ça doit pas être très difficile, mais à l'heure qu'il est je ne vois pas. J'y réfléchirai demain à tête reposée. Je vais me coucher.

oki bonne nuit, je vais en faire de même de mon côté je crois