calcul de variation totale

[invite769a1844]

Bonsoir,

est définie sur par les relations

; pour tout .

Comment montrer que pour tout entier , la variation totale de sur est égale à .

Je ne vois pas comment calculer cette variation totale.

Merci pour vos indications.
-----

[invite57a1e779]

Sur , est de classe , avec


Je note . Sur , cette dérivée s'annule deux fois :
– en en lequel ;
– en tel que .
La dérivée est
– positive sur ;
– négative sur ;
– positive sur .

La variation totale de sur est par suite :
.

Or , et, en notant ,
, avec .

Je ne sais pas si cela aboutit, j'ai envoyé le message par erreur au lieu de demander l'apeerçu, la suite au prochain numéro...

[invite57a1e779]

On peut simplifier un peu : , et la variation totale de sur est :
.
Et je ne vois pas comment simplifier davantage...

[invite57a1e779]

Comme il se doit, je me suis planté dans le sens de variation des suites qui sont décroissantes, et ordonné de la façon suivante :

La variation totale de sur est :
.

Ce qui est plus exacte (pensé-je), mais ne fait pas avancer le problème du calcul global.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

merci

donc on fait une étude du signe de f' et ensuite on utilise le théorème qui dit que si f est C1, la variation totale de f est les l'intégrale sur [-1,1] de la valeur absolue de f'.. Je regarde ça plus en détail, merci.

C'est pour avoir un exemple de fonction continue partout dérivable sur [a,b] et à variation totale infinie.

[Edit] Si ça peut rassurer, je viens de vérifier l'énoncé, il n'y a pas de coquille sur ce que j'ai retranscrit.

[invite57a1e779]

C'est pour avoir un exemple de fonction continue partout dérivable sur [a,b] et à variation totale infinie.

Si c'est que cela, on peut montrer que la variation totale est infinie sur sans la calculer sur un sous-intervalle, il suffit de montrer que n'est pas intégrable sur .

Tu peux aussi un coup d'oeil sur la première épreuve du CAPES de lundi dernier sur http://capes-math.org/2008/ep1_2008.pdf (l'autreépreuve http://capes-math.org/2008/ep2_2008.pdf), tout un problème sur les fonctions à variation bornée, avec le contrexemple voulu en partie F.

PS : j'ai vu que tu as mis les grands pontes à contribution sur la connexité par arcs simples, tout le monde en reste perplexe.

[invite57a1e779]

donc on fait une étude du signe de f' et ensuite on utilise le théorème qui dit que si f est C1, la variation totale de f est les l'intégrale sur [-1,1] de la valeur absolue de f'.. Je regarde ça plus en détail, merci.

Je ne sais pas si cela aboutit, mais comme on demande une valeur exacte de la variation totale, cela m'a semblé un point de départ acceptable.

[invite35452583]

Oui mais ce n'est pas une variation totale exacte.
Si on prend la subdivision en x² 1/n; 2/(2n-1) ; 1/(n-1); ...;1/2; 2/3 ; 1
et en partant de x²=1 on a variation totale>=1+1/2+1/2+1/3+1/3+1/4+1/4+....+1/n qui est déjà strictement supérieur à 1+1/2+1/3+...+1/n.

[invite769a1844]

Je note . Sur , cette dérivée s'annule deux fois :
– en en lequel ;
– en tel que .
La dérivée est
– positive sur ;
– négative sur ;
– positive sur .

Comme il se doit, je me suis planté dans le sens de variation des suites qui sont décroissantes, et ordonné de la façon suivante :

Avec cette définition des j'ai un peu de mal à voir comment tu arrives à positionner les : . Je ne reconnais pas la résolution de ce type d'équation: .

Si c'est que cela, on peut montrer que la variation totale est infinie sur sans la calculer sur un sous-intervalle, il suffit de montrer que n'est pas intégrable sur .

Tu peux aussi un coup d'oeil sur la première épreuve du CAPES de lundi dernier sur http://capes-math.org/2008/ep1_2008.pdf (l'autreépreuve http://capes-math.org/2008/ep2_2008.pdf), tout un problème sur les fonctions à variation bornée, avec le contrexemple voulu en partie F.

ah merci pour les liens, ce sujet correspond bien à ce que je recherche.

PS : j'ai vu que tu as mis les grands pontes à contribution sur la connexité par arcs simples, tout le monde en reste perplexe.

oui, enfin pour ma part je avis me contenter du cas fini, je vois déjà un peu mieux cette notion de "connection par arcs"

Oui mais ce n'est pas une variation totale exacte.
Si on prend la subdivision en x² 1/n; 2/(2n-1) ; 1/(n-1); ...;1/2; 2/3 ; 1
et en partant de x²=1 on a variation totale>=1+1/2+1/2+1/3+1/3+1/4+1/4+....+1/n qui est déjà strictement supérieur à 1+1/2+1/3+...+1/n.

ok finalement , je calcule ça.

Merci pour votre aide.

[invite57a1e779]

[QUOTE=rhomuald;1592110]oui, enfin pour ma part je avis me contenter du cas fini, je vois déjà un peu mieux cette notion de "connection par arcs"

Si est un chemin continu reliant à .
Si l'espace d'arrivée est séparé, pour tout point de , est fermé dans , donc compact.

Il admet un plus petit élément et un plus grand élément : est la première valeur et est la dernière valeur en laquelles prend la valeur .

Si est un point multiple de l'arc, alors .

La restriction de à est un chemin continu de à ; la restriction de à est un chemin continu de à .
En les recollant, on obtient un chemin continu de à sur lequel n'est plus point multiple.

On peut donc supprimer un nombre fini de points.

Pour le cas général, il doit falloir jongler finement avec la connexité.

k finalement , je calcule ça.

Par l'absurde : si ta formule eétait vraie, tu aurais, par différence des variations totales sur et sur , la variation totale sur de valeur rationnelle.

Cette variation s'exprime en fonction des valeurs de aux bornes de l'intervalle, qui sont et , rationnelles, et des valeurs en les points et en lesquels s'annule (il faut peut-être les indices , mais cela importe peu).

s'annule à cause du terme en cosinus, donc n'intervient pas dans la variation totale. Sa valeur dépend uniquement de , qui se retrouve ainsi être rationnel.

Or la relation fournit rationnellement en fonctin de , d'où l'on déduit puis rationnellement en fonction de .

Finalement satisfait une relation rationnelle dans l'expression de la variation totale, qui est contradictoire avec la relation non purement trigonotétrique .

[invite769a1844]

ok je regarde ça, merci bien God's Breath.