Probabilités...

[invite1237a629]

Bonsoir,

Décidément, c'est pô marrant ce semestre...

On a deux exos de probas, on a trouvé des choses, mais on n'est pas sûr...


1.
- Vérifier que 9 se partage additivement en trois entiers compris entre 1 et 6 en autant de façons que l'entier 10.
1.2.6 1.3.6
1.3.5 1.4.5
1.4.4 2.4.4
2.2.5 2.3.5
2.3.4 3.3.4
3.3.3 2.2.6
- Les joueurs professionnels considèrent qu'en jetant 3 dés, un total de 10 est plus probable qu'un total de 9. Ont-ils raison ?
---> Nous, on dit que non, vu qu'il y a autant de combinaisons possibles pour 9 que pour 10, la proba est la même. Par contre, on ne fait pas du tout intervenir les probabilités (qui est quand même le chapitre...). Donc est-ce juste comme raisonnement ? Pour la question précédente, n'y aurait-il pas une autre manière ?




2.
On lance un dé équilibré 12 fois. Calculer la probabilité que chacun des points 1.2.3.4.5 et 6 apparaissent exactement 2 fois.

---> On calcule le cardinal de l'espace probabilisé "ensemble des 12-uplets", qui correspond au nombre d'applications d'un ensemble de 12 dans un ensemble de 6. Donc 6^12

---> Là, on se dit : nombre de {1.1.2.2.3.3.4.4.5.5.6.6} possibles, nombre qui est défini par les ordres possibles de tirages. Donc 12!

---> proba = 12!/6^12

Mais je dirais que nous ne sommes pas plus convaincus que ça... Et moi j'ai du mal à nommer les choses alors que mon pote est parti.


Si vous pouviez nous aider... Merci
-----

[invite57a1e779]

Bonsoir MiMoiMolette

Vérifier que 9 se partage additivement en trois entiers compris entre 1 et 6 en autant de façons que l'entier 10.

L'espace probabilisé est l'ensemble des triplets, , de cardinal .
On dénombre nos événements :
1.2.6 : 6 cas favorables (par permutation) --- 1.3.6 : 6 cas favorables
1.3.5 : 6 cas favorables (par permutation) --- 1.4.5 : 6 cas favorables
1.4.4 : 3 cas favorables (le 4 sort 2 fois !!) --- 2.4.4 : 3 cas favorables
2.2.5 : 3 cas favorables --- 2.3.5 : 6 cas favorables
2.3.4 : 6 cas favorables --- 3.3.4 : 3 cas favorables
3.3.3 : 1 cas favorables --- 2.2.6 : 3 cas favorables

La probabilité de sortir un total de 9 est .
La probabilité de sortir un total de 10 est .

Conclusion ?

Pour le deuxième, c'est tout à fait correct.

[invitebb921944]

Bonjour !

1.
- Vérifier que 9 se partage additivement en trois entiers compris entre 1 et 6 en autant de façons que l'entier 10.
1.2.6 1.3.6
1.3.5 1.4.5
1.4.4 2.4.4
2.2.5 2.3.5
2.3.4 3.3.4
3.3.3 2.2.6
- Les joueurs professionnels considèrent qu'en jetant 3 dés, un total de 10 est plus probable qu'un total de 9. Ont-ils raison ?
---> Nous, on dit que non, vu qu'il y a autant de combinaisons possibles pour 9 que pour 10, la proba est la même. Par contre, on ne fait pas du tout intervenir les probabilités (qui est quand même le chapitre...). Donc est-ce juste comme raisonnement ? Pour la question précédente, n'y aurait-il pas une autre manière ?

En fait il y a un petit souci !

Ton espace probabilisé A peut s'écrire :
A={1,2,3,4,5,6}^3

La combinaison 226 est l'événement : {2}x{2}x{6}U{6}x{2}x{2}U{2}x{6 }x{2}
En revanche la combinaison 333 est l'événement {3}x{3}x{3}

Ca veut tout simplement dire que tu as plus de chance d'avoir la combinaison 226 (3 chances sur 6^3) que la combinaison 333 (1 chance sur 6^3) par exemple...
C'est pour cela qu'il faut faire attention.

Pour illustrer cela, on calcule la probabilité d'obtenir au moins un 6 en lancant deux dés par exemple. (On note B cet événement)

A={1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}
Il y a 11 cas favorables et non pas 12 comme on pourrait le penser de prime abord :

En effet, on distingue par exemple les cas {1}x{2} et {2}x{1} alors que les cas {6}x{6} et {6}x{6} sont les mêmes...
Donc P(B)=11/36

[invite1237a629]

Coucou

Conclusion, les professionnels ont toujours raison ^^

Par contre, pourquoi faut-il prendre en compte le nombre de permutations ?
Le 2.4.4, par exemple, peut sortir 2 fois plus souvent que 1.3.6... Pourquoi peut-on confondre les 4 alors qu'on comptabilise toutes les combinaisons ? L'ordre n'importe pourtant pas ?

C'est pareil quand on prend la probabilité (pour deux dés) d'obtenir 3 et 3, on compte comme 5 le nombre de doublets possibles, mais pourtant, il y a deux fois plus de chances d'obtenir 3 et 3 que 1 et 5 (indépendamment de 5 et 1) ?

Saurais-tu l'expliquer, pleaaase ?


Pour le deuxième, oki. Mais penses-tu que ce genre de démonstration est assez rigoureux ?



Merci beaucoup

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Saurais-tu l'expliquer, pleaaase ?

L'espace probabilisé est un ensemble de triplet.

Une combinaison sans répétition comme 1,2,6 est obtenue par les triplets (1,2,6), (1,6,2), (2,1,6), (2,6,1), (6,1,2), (6,2,1) qui se déduisent les uns des autres par permutations : il y a 3! = 6 triplet possibles.

Un combinaison à répétition, comme 2,4,4 est obtenu par les triplets (2,4,4), (4,2,4), (4,4,2) : tu choisis la place du 2 (3 possibilité), et tu complète par le 4 qui est répété

Une combinaison comme 3,3,3 ne peut -être obtenu que par un seul triplet (3,3,3).


Pour le second exo, je suis en train de me dire que ton résultat est faux.
Lorsque tu comptes tes permutations : si tu permutes deux chiffres égaux, tu ne modifies pas le 12-uplet.

Par exemple, avec pile ou face et 2 lancers, tu n'as pas 4! = 24 possibilités, mais seulement 6 : PPFF, PFPF, PFFP, FFPP, FPFP, FPPF.

[invite1237a629]

Bonjour !

En fait il y a un petit souci !

Ton espace probabilisé A peut s'écrire :
A={1,2,3,4,5,6}^3

La combinaison 226 est l'événement : {2}x{2}x{6}U{6}x{2}x{2}U{2}x{6 }x{2}
En revanche la combinaison 333 est l'événement {3}x{3}x{3}

Ca veut tout simplement dire que tu as plus de chance d'avoir la combinaison 226 (3 chances sur 6^3) que la combinaison 333 (1 chance sur 6^3) par exemple...
C'est pour cela qu'il faut faire attention.

Hm, je crois que c'est cette explication qu'il me manquait

Pour illustrer cela, on calcule la probabilité d'obtenir au moins un 6 en lancant deux dés par exemple. (On note B cet événement)

A={1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}
Il y a 11 cas favorables et non pas 12 comme on pourrait le penser de prime abord :

En effet, on distingue par exemple les cas {1}x{2} et {2}x{1} alors que les cas {6}x{6} et {6}x{6} sont les mêmes...
Donc P(B)=11/36

Mais pourtant les dés sont indifférentiables ? Enfin là, je comprends, mais je n'arrive pas à croire que ça s'applique tout le temps... Y a-t-il des exemples où au contraire cette probabilité {6}x{6} est comptabilisée deux fois ? (chuis têtue )


Merci à vous deux (faudrait que je trouve un substitut à "merci" ^^)

[invite57a1e779]

On lance un dé équilibré 12 fois. Calculer la probabilité que chacun des points 1.2.3.4.5 et 6 apparaissent exactement 2 fois.

---> On calcule le cardinal de l'espace probabilisé "ensemble des 12-uplets", qui correspond au nombre d'applications d'un ensemble de 12 dans un ensemble de 6. Donc 6^12

---> Là, on se dit : nombre de {1.1.2.2.3.3.4.4.5.5.6.6} possibles, nombre qui est défini par les ordres possibles de tirages. Donc 12!

---> proba = 12!/6^12

Il faut choisir les positions des 1 : 2 parmi 12 possibles,
puis choisir les positions des 2 : 2 parmi les 10 positions inocuppées
puis choisir les positions des 3 : 2 parmi les 8 positions inocuppées
puis choisir les positions des 4 : 2 parmi les 6 positions inocuppées
puis choisir les positions des 5 : 2 parmi les 4 positions inocuppées
Il reste deux places libres pour les 6.

Le nombre de tirages possibles est donc

[invitebb921944]

Le truc, c'est que et (je mets l'indice 1 pour désigner le dé 1 et l'indice 2 pour le dé 2). Bah ça veut dire pour le premier : "le dé 1 affiche 6 et le dé 2 affiche 6" et pour le deuxième "le dé 2 affiche 6 et le dé 1 affiche 6", ce qui est exactement la même chose.
Par contre pour et , on a : "le dé 1 affiche 2 et le dé 2 affiche 6", puis "le dé 2 affiche 6 et le dé 1 affiche 2", ce qui n'est pas la même chose. Quand on y réfléchit un peu ca devient assez évident !

[invite1237a629]

Je vais répondre un peu en désordre... En tout premier :

Il faut choisir les positions des 1 : 2 parmi 12 possibles,
puis choisir les positions des 2 : 2 parmi les 10 positions inocuppées
puis choisir les positions des 3 : 2 parmi les 8 positions inocuppées
puis choisir les positions des 4 : 2 parmi les 6 positions inocuppées
puis choisir les positions des 5 : 2 parmi les 4 positions inocuppées
Il reste deux places libres pour les 6.

Le nombre de tirages possibles est donc

Ooook, c'est aussi simple que cela... En fait, on s'est demandés à un moment si on devait compter le fait qu'on voulait 2 faces 1 et uniquement 2. Ce qui n'aurait pas donné ces combinaisons, mais des combinaisons avec des probabilités... Bref, on s'embrouille trop facilement dans tout ça :'(


Je note le raisonnement, je l'expliquerai demain à mon ami

[invite57a1e779]

Mais pourtant les dés sont indifférentiables ? Enfin là, je comprends, mais je n'arrive pas à croire que ça s'applique tout le temps... Y a-t-il des exemples où au contraire cette probabilité {6}x{6} est comptabilisée deux fois ? (chuis têtue )

Les dés sont indifférentiables, mais ils sont deux.

Tu lances un dé bleu et un dé rouge.

Pour avoir un total de 12, il faut que chaque dé porte le numéro 6 : tu as une seule possibilité.

Pour avoir un total de 11, il faut qu'un dé porte 5 et l'autre 6 : tu as deux possibilité, 5 bleu et 6 rouge, 6 bleu et 5 rouge.

Tu peux repeindre tes dés en blanc, cela n'y changera rien !!! Tu obtiendras deux fois plus souvent 11 que 12 comme total.

[invite1237a629]

Le truc, c'est que (je mets l'indice 1 pour désigner le dé 1 et l'indice 2 pour le dé 2). Bah ça veut dire pour le premier : "le dé 1 affiche 6 et le dé 2 affiche 6" et pour le deuxième "le dé 2 affiche 6 et le dé 1 affiche 6", ce qui est exactement la même chose.
Par contre pour , on a : "le dé 1 affiche 2 et le dé 2 affiche 6", puis "le dé 2 affiche 6 et le dé 1 affiche 2", ce qui n'est pas la même chose. Quand on y réfléchit un peu ca devient assez évident !

Vu comme ça... C'est évident voui ! Pour l'histoire des dés, c'est bon alors

Par exemple, avec pile ou face et 2 lancers, tu n'as pas 4! = 24 possibilités, mais seulement 6 : PPFF, PFPF, PFFP, FFPP, FPFP, FPPF.

S'il n'y a que deux lancers, pourquoi y a-t-il des quadruplets ? ^^

Si je reprends cet exemple : 2 lancers à pile/face, les possibilités sont PP, FF, PF ET FP ?
On ne peut compter deux fois PP, mais FP et PF sont différents, n'est-ce pas ?



Si c'est bon, je crois avoir compris

[invite57a1e779]

S'il n'y a que deux lancers, pourquoi y a-t-il des quadruplets ? ^^

Parce que c'est une erreur.

Avec un dé, tu as 6 résultats possibles, pour tirer chacun d'eux 2 fois, il faut 2x6=12 lancers.

Avec une pièce, tu as 2 résultats possibles, pour tirer chacun d'eux 2 fois, il faut 2x2=4 lancers.

Et comme on travaille sur un ensemble de cardinal plus petit, il est possible de lister explicitement toutes les possibilités, et de s'apercevoir que la formule proposée est fausse.

[invite1237a629]

Avec un dé, tu as 6 résultats possibles, pour tirer chacun d'eux 2 fois, il faut 2x6=12 lancers.

Ca reste une probabilité, non ? Ou bien c'est 12 au minimum ?

Et c'est là que :

Et comme on travaille sur un ensemble de cardinal plus petit, il est possible de lister explicitement toutes les possibilités, et de s'apercevoir que la formule proposée est fausse.

Je n'arrive plus à suivre

Où était l'erreur alors ?

[invitebb921944]

Au passage, en bon idiot, je m'étais dis à l'époque "mais si je ne compte qu'une fois le cas 6x6 dans les cas favorables, pourquoi le compte-je deux fois dans les cas possibles ?"
Bah parce qu'en fait on ne le compte qu'une fois quand on obtient 36, c'est juste que je suis un peu teubé !

[invite1237a629]

Ganash et God's Breath...

Je vous remercie encore pour vos explications (pompeuse formulation ? Qu'importe !). Mis à part ce petit souci des dés, j'ai (l'impression d'avoir) tout compris !

Si à l'avenir je pose des questions similaires, ne pensez pas que c'est parce que vous avez parlé à une sourde et écrit à une aveugle, c'est juste que j'aurai besoin d'avoir l'assurance du bon cheminement

Au passage, en bon idiot, je m'étais dis à l'époque "mais si je ne compte qu'une fois le cas 6x6 dans les cas favorables, pourquoi le compte-je deux fois dans les cas possibles ?"
Bah parce qu'en fait on ne le compte qu'une fois quand on obtient 36, c'est juste que je suis un peu teubé !

J'ai récupéré ton idiotie de l'époque alors
Il faut que je réfléchisse sur ce 36

Edit : ah ben dit comme ça... LOL ! On ne s'en rend même pas compte ^^

[invitebb921944]

Sinon c'est bien 12 au minimum comme tu dis.
Et l'erreur était simplement qu'il aurait du dire 4 lancers au lieu de 2 pour obtenir des quadruplets comme tu l'as justement fait remarquer.
Si ca peut te permettre de dormir plus tranquille

[invite57a1e779]

Ca reste une probabilité, non ? Ou bien c'est 12 au minimum ?

Tu lances un dé 12 fois, ce qui permet d'envisager que tu obtiennes deux fois chaque numéro de 1 à 6.

Ton espace probabilisé est de cardinal 6^12, ENORME !!!
Chaque éventualité est le 12-uplet des résultats des 12 lancers successifs.

Pour faire, à la main, la liste exhaustive de toutes les possibilités, on y est encore l'année prochaine...

Je propose donc de voir ce qui se passe dans une situation analogue, mais plus simple : le lancer d'une pièce.

On la lance 4 fois, ce qui permet d'obtenir 2 fois P et deux fois F.

Ici l'espace probabilisé est un ensembe de quadruplets : {P,F}x{P,F}x{P,F}x{P,F} de cardinal 2^4 = 16, on peut en faire la liste complète rapidement.

Je cherche les quadruplets avec 2 P et 2 F.
Ils commencent soit par P, soit par F.
Il y en a de la forme (P,X,Y,Z), d'autres de la forme (F,X,Y,Z), et je cherche par quoi on peut remplacer X, Y et Z.

Pour les (P,X,Y,Z), il y a déjà un P, j'en mets un autre, j'ai 3 choix, mais après, je suis obligé de mettre les deux F, donc 3 quadruplets possibles.

Pour les ((F,X,Y,Z), idem, trois quadruplets possibles suvant la place du deuxième F.

Au total, j'ai 6 quadruplets possibles.

Ton raisonnement, qui conduisait à 12! pour le dé, conduirait à 4!=24 pour la pièce : c'est pas ça !

[invite1237a629]

Sinon c'est bien 12 au minimum comme tu dis.
Et l'erreur était simplement qu'il aurait du dire 4 lancers au lieu de 2 pour obtenir des quadruplets comme tu l'as justement fait remarquer.
Si ca peut te permettre de dormir plus tranquille

Courte mais bonne nuit sûrement

Je cherche les quadruplets avec 2 P et 2 F.

Oki, il me manquait cette phrase en fait

Pour les (P,X,Y,Z), il y a déjà un P, j'en mets un autre, j'ai 3 choix, mais après, je suis obligé de mettre les deux F, donc 3 quadruplets possibles.

Pour les ((F,X,Y,Z), idem, trois quadruplets possibles suvant la place du deuxième F.

Au total, j'ai 6 quadruplets possibles.

Eh, c'est magique !

Donc il s'agit de ,puisqu'il suffit d'en placer 2 et les autres viendront se placer directement, comme tu l'avais fait avec les faces 6 qui rentraient toutes seules !

Ton raisonnement, qui conduisait à 12! pour le dé, conduirait à 4!=24 pour la pièce : c'est pas ça !

Bien compris l'erreur chef !







Bonne nuit à vous deux !!