Prolongement continu de fonctions

[invite769a1844]

Bonsoir,

On note l'ensemble des fonctions numériques continues sur , et le sous-ensemble constitué par les polynômes.

Pourquoi l'application identique de dans n'admet aucun prolongement continu à tout entier?

Merci.
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

On note l'ensemble des fonctions numériques continues sur , et le sous-ensemble constitué par les polynômes.

Pourquoi l'application identique de dans n'admet aucun prolongement continu à tout entier?

Merci.

Tu veux la prolonger den une application continue de dans ?
Quelle topologie mets-tu sur et ?

[invite769a1844]

Tu veux la prolonger den une application continue de dans ?
Quelle topologie mets-tu sur et ?

oui c'est bien ça (enfin montrer qu'on a pas un tel prolongement).

Sur , et je mets la topologie de la convergence uniforme, et sur la topologie induite de celle de , pour se retrouver avec dense dans , mais distinct de , donc non complet.

[invite57a1e779]

Si adment un prolongement continu à .

Soit un élément de , il est limite d'une suite d'éléments de qui est dense dans .

Par continuité de , on a :
.

Or est élément de et l'égalité est impossible.

En fait est lipschitzienne donc uniformément continue sur , donc admet un unique prolongement uniformément continu de dans , qui est évidemment .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Si adment un prolongement continu à .

Soit un élément de , il est limite d'une suite d'éléments de qui est dense dans .

Par continuité de , on a :
.

Or est élément de et l'égalité est impossible.

En fait est lipschitzienne donc uniformément continue sur , donc admet un unique prolongement uniformément continu de dans , qui est évidemment .

ah oui d'accord, merci avec l'exemple bonus à la fin, je saisis déjà mieux ce théorème de prologement.