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Prolongement continu de fonctions



  1. #1
    rhomuald

    Prolongement continu de fonctions


    ------

    Bonsoir,

    On note l'ensemble des fonctions numériques continues sur , et le sous-ensemble constitué par les polynômes.

    Pourquoi l'application identique de dans n'admet aucun prolongement continu à tout entier?

    Merci.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Prolongement continu de fonctions

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Bonsoir,

    On note l'ensemble des fonctions numériques continues sur , et le sous-ensemble constitué par les polynômes.

    Pourquoi l'application identique de dans n'admet aucun prolongement continu à tout entier?

    Merci.
    Tu veux la prolonger den une application continue de dans ?
    Quelle topologie mets-tu sur et ?

  4. #3
    rhomuald

    Re : Prolongement continu de fonctions

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Tu veux la prolonger den une application continue de dans ?
    Quelle topologie mets-tu sur et ?
    oui c'est bien ça (enfin montrer qu'on a pas un tel prolongement).

    Sur , et je mets la topologie de la convergence uniforme, et sur la topologie induite de celle de , pour se retrouver avec dense dans , mais distinct de , donc non complet.

  5. #4
    God's Breath

    Re : Prolongement continu de fonctions

    Si adment un prolongement continu à .

    Soit un élément de , il est limite d'une suite d'éléments de qui est dense dans .

    Par continuité de , on a :
    .

    Or est élément de et l'égalité est impossible.

    En fait est lipschitzienne donc uniformément continue sur , donc admet un unique prolongement uniformément continu de dans , qui est évidemment .

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rhomuald

    Re : Prolongement continu de fonctions

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Si adment un prolongement continu à .

    Soit un élément de , il est limite d'une suite d'éléments de qui est dense dans .

    Par continuité de , on a :
    .

    Or est élément de et l'égalité est impossible.

    En fait est lipschitzienne donc uniformément continue sur , donc admet un unique prolongement uniformément continu de dans , qui est évidemment .
    ah oui d'accord, merci avec l'exemple bonus à la fin, je saisis déjà mieux ce théorème de prologement.

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