Bonjour,
je voudrais savoir qu'elle est la méthode a suivre pour trouver le point de symétrie d'une quadrique.
J'ai un exemple dans lequel je connais le résultat c'est:
x²+y²+6xy-4x=0
Merci de votre aide, j'ai cherché dans plusieurs cours et sur internet et j'ai pas trouvé.
TOM
Salut.
Tu cherches le "centre" de la quadrique c'est ça ?
Une méthode bourrine: tu diagonalises la matrice correspondant à la forme quadratique (ici x²+y²+6xy), tu en déduis une forme aX²+bY²+cZ²+dX+eY+fZ+g , qq chose comme ça...
Tu mets tout ça sous forme canonique, soit a(X-X0)²+b(Y-Y0)²+(Z-Z0)²+ ...
Et (X0,Y0,Z0) te donnera le centre.
Merci de ta réponse si rapide.
Mais c'est bien le centre de symétrie que je cherche ou alors je me mélange et ce centre est bien le même que le centre normal
Mais en faite en kholle j'ai eu cette équation et il me donnais le centre de symétrie je devais prouver qu'il était bien centre de symétrie en changent de base plaçant le centre du repere au centre de symétrie et j'avais une nouvel équation.
Ensuite je devais la réduire et c'est la que je devais diagonalisé la matrice pour l'avoir sous forme connue
UP
Le centre d'une conique ou d'une quadrique d'équationest le point en lequel toutes les dérivées partielles de [tx]f[/tex] s'annulent.
Ca c'est le sommet d'un conne, j'ai été demander a mon prof de maths enfaite
pour trouver le centre de symétrie il faut résoudre l'équation:
si on note f(x,y) l'équation de la courbe qui est enfaite x²+y²+6xy+4x=0 ( faute de frappe )
f(a+x,b+y)=f(a-x,b-y)
j'ai résolu je trouve le systeme suivant:
a+4b=-2
3a+b=0
on a donc a=1/4 et b=-3/4 ( qui est bien le point que je connaissais donc sa marche)
Enfaite je demande sa car si on déplace le repere sur le point de symétrie c'est dire
A(1/4,-3/4) l'équation est plus facil a réduire car le x qui est tout seul s'enva.
L'équation devien : X²+Y²+6XY+1/2=0
Et apres pour réduire on cherche le polynome caractéristique les vecteurs matrice de passage on calcul le produit et on a notre matrice diagonal qui est notre équation réduite de connique
Que penser vous de cette méthode ? faire directement le polynome caractéristique est il une perte ou un gain de temps ?
Ca c'est le sommet d'un conne, j'ai été demander a mon prof de maths enfaite
pour trouver le centre de symétrie il faut résoudre l'équation:
si on note f(x,y) l'équation de la courbe qui est enfaite x²+y²+6xy+4x=0 ( faute de frappe )
f(a+x,b+y)=f(a-x,a-y)
j'ai résolu je trouve le systeme suivant:
a+4b=-2
3a+b=0
on a donc a=1/4 et b=-3/4 ( qui est bien le point que je connaissais donc sa marche
Enfaite je demande sa car si on déplace le repere sur le point de symétrie c'est dire
A(1/4,-3/4) l'équation est plus facil a réduire car le x qui est tout seul s'enva.
L'équation devien : X²+Y²+6XY+1/2=0
Et apres pour réduire on fait cherche le polynome caractéristique les vecteurs matrice de passage on calcul le produit et on a notre matrice diagonal qui est notre équation réduite de connique
Que penser vous de cette méthode ? faire directement le polynome caractéristique est il une perte ou un gain de temps ?
EDIT: enfaite je m'aperçois que j'ai du mal a écrit les 2 équation ( celle au point A et celle donné au départ ) en matrice car j'ai dans la premiere un X qui traine ! et dans la 2eme un élément constant !
e sommet d'un cône est un cas particulier de centre de quadriqueEnvoyé par toma78
Ici
L'annulation des dérivées partielles conduit au système
qui fournit les coordonnées du centre :
ici c'est donc un cas particulier !
ok
Sinon pour réduire l'équation !
J'arrive pas a éxprimé c'est équation x²+y²+6xy+4x=0 sous forme de matrice a cose du 4x.
Mais en déplacent le repere sur le point de symétrie au trouve X²+Y²+6XY+1/2=0 Mais j'ai toujours le même probleme a cose de la constante !
La matrice associée à une équation quadratique ne concerne que les termes du second degré.
Ici :
Tu te places dans le repère
ok donc sa sert a rien de cherché un centre de symétrie pour que sa rende l'équation plus simple a diagonalisé ( sa revien au même ) ?
Diagonaliser la matrice associée, c'est déterminer les directions des axes principaux de la conique/quadrique qui sont orthogonales. C'est une propriété euclidienne.
Trouver le centre de symétrie, c'est s'intéresser à une propriété affine.
Il n'y a aucun rapport entre ces deux problèmes.
Bien entendu, au final, les axes principaux sont déterminés par leur direction et le fait qu'ils passent par le centre de symétrie.
Je vien de réflechir a un truc si on change pas de repere pour le mettre au centre de symétrie. Alors dans l'équation final on aura du 4x la forme ne sera donc pas réduite.
Il faut comprendre que le changement de repère simplifie l'équation à deux niveaux indépendants :
– le changement d'origine fait "disparaître" les termes du premier degré, 4x dans ton exemple ;
– le changement de base fait "disparaître" les termes rectangled, 6xy dans ton exemple.
D'accord merci,
Donc au final on est bien obliger de trouver le centre de symétrie pour simplier l'équation de la quadrique c'est sa ?
Je te remerci grandement pour ton aide
Oui, on est obligé de déterminer le centre de symétrie et aussi les directions propres de la matrice symétrique associée à l'équation de la quadrique.D'accord merci,
Donc au final on est bien obliger de trouver le centre de symétrie pour simplier l'équation de la quadrique c'est sa ?
Je te remerci grandement pour ton aide
J'ai voulu testé avec un autre exemple plus compliqué mais j'arrive pas a factorisé le polynome caractéristique de degrés 3
2X² + Y² + 2XY - YZ - 2X -3Z + 1 =0
Sa matrice c'est bien:
2 1 1
1 1 -1/2
1 -1/2 0
La matrice est
Oui grosse erreur de ma par !!
Cependant j'ai toujours un plynome caractéristique de degrés 3dont je n'arrive pas a trouver les solutions !
X^3+3X²+(3/4)X+1/2
Ce qui veut simplement dire que l'on ne peut pas trouver de formules explicites pour exprimer les axes de la quadriques.Oui grosse erreur de ma par !!
Cependant j'ai toujours un plynome caractéristique de degrés 3dont je n'arrive pas a trouver les solutions !
X^3+3X2+(3/4)X+1/2
Enfin, on peut toujour essayer de trouver les racines du polynôme par les formules de Cardan... Bon courage !!!
D'accord merci beaucoup pour ton aide, on ne peu donc pas toujours écrire l'équation sous forme réduite alors
Du point de vue théorique, on peut toujours ; le problème est de pouvoir expliciter les coefficients de l'équation réduite.
