convergence de suite adjacente

[invite48b7a4f0]

Bonjour à tous !
Petit exo:
Soit Un = Somme de k allant de 1 à n de ( 1/k) - (ln n )
Soit Vn = somme de k allant de 1 à n de (1/k) - (ln (n+1))

Montrer que Un converge vers lamda appartenant à 2-ln 2 , ln 2

J'ai commencé à montrer qu'elle était adjacente mais à partir de la...

Bon week end
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[Flyingsquirrel]

Salut

C'est pas plutôt ?

Tu devrais y arriver en utilisant des intégrales pour majorer et minorer . (théorème de la valeur moyenne)

[invite48b7a4f0]

non, non c'est bien 2-ln2, 2 ...
:s

[Flyingsquirrel]

Ah bah c'est dommage, parce que c'est faux : constante d'Euler-Mascheroni. La limite est comprise entre 0.5 et 0.6 alors que [2-ln(2),2]=[1.30...,2]...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite48b7a4f0]

je n'y arrive vraiment pas... pouvez vous m'aider ...
au fait l'encadrement est bien 1 -ln 2 ; ln 2

[invite48b7a4f0]

j'ai bien remarqué que la somme de k allant de 1 à n de (1/K) était compris entre ln(n+1) et 1 + ln n... Mais je n'arrive qu'a trouver l'encadrement ( 0 ; 1)

[Flyingsquirrel]

Ça n'est pas ln(n+1) tout seul, l'intégrale de 1/t n'existe pas entre 0 et 1, c'est là qu'on fait apparaître ln(2) : on majore la somme allant de 2 à n puis on rajoute le premier terme qui vaut 1.

[invite48b7a4f0]

merci:s Mais c'est ce que j'ai fait comme vous me l'aviez dit précédemment... Mais je ne trouve pas l'encadrement voulu... En fait je ne vois pas ou le ln 2 pourra sortir

[Flyingsquirrel]

On écrit et puis on minore/majore la somme allant de 2 à n par des intégrales, le ln(2) provenant de la majoration.

[invite57a1e779]

Bonjour à tous !
Petit exo:
Soit Un = Somme de k allant de 1 à n de ( 1/k) - (ln n )
Soit Vn = somme de k allant de 1 à n de (1/k) - (ln (n+1))

Montrer que Un converge vers lamda appartenant à 2-ln 2 , ln 2

J'ai commencé à montrer qu'elle était adjacente mais à partir de la...

Bon week end

On a :

1. , d'où une suite décroissante.

2. d'où une suite croissante.

3. de limite nulle.

Les suites sont adjacentes, ont donc même limite qu'elles encadrent : pour tout , on a .

En particulier .

Or ...

[invite48b7a4f0]

merci beaucoup, j'ai très bien compris. Mais est ce une conséqquence du théorème des suites adjacente que de dire Un < L < Vn

[invite57a1e779]

[QUOTE=layo0789;1614747Mais est ce une conséqquence du théorème des suites adjacente que de dire Un < L < Vn[/QUOTE]

Oui : la limite majore la suite croissante et minore la suite décroissante.

[invite48b7a4f0]

petite question sur ce thème.
Est ce que je peux le montrer par récurrence?
C'est à dire
Supposons que Un tende vers [1-ln 2; 1]
Montrons que Un+1 tende vers [1-ln 2; 1]

Or Un+1 = Un + ( 1 / (n+1)) - ln(n+1) + ln n
Et ( 1 / (n+1)) - ln(n+1) + ln n tend vers 0 quand n tend vers l'infini
Donc Un+1 tend vers Un quand n tend vers l'infini et tend donc vers [1-ln 2; 1]

[invite48b7a4f0]

Et sans oublier l'initialisation u1 = 1 compris entre 1-ln 2 et 1

[invite57a1e779]

petite question sur ce thème.
Est ce que je peux le montrer par récurrence?
C'est à dire
Supposons que Un tende vers [1-ln 2; 1]
Montrons que Un+1 tende vers [1-ln 2; 1]

Or Un+1 = Un + ( 1 / (n+1)) - ln(n+1) + ln n
Et ( 1 / (n+1)) - ln(n+1) + ln n tend vers 0 quand n tend vers l'infini
Donc Un+1 tend vers Un quand n tend vers l'infini et tend donc vers [1-ln 2; 1]

TU NE PEUX PAS.

Il faut te rendre compte que ce que tu écris n'a aucun sens !!!

Le passage du rang 4 au rang 5 de la récurrence :
Supposons que tende vers
Montrons que tende vers

Que veut dire "un nombre tend vers un intervalle" ?

[invitedf724c7e]

bonjour a tous
Comment fait-on pour démontrer que pour x>-1
on a x>ln(1+x)

merci d'avance

[invite57a1e779]

Comment fait-on pour démontrer que pour x>-1
on a x>ln(1+x)

On étudie les variations de sur .